КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Рівняння руху кристалічної решітки
РОЗДІЛ 3. ТЕОРІЯ КОЛИВАНЬ КРИСТАЛІЧНОЇ РЕШІТКИ В адіабатичному наближенні (§1) розв’язок рівняння Шредінгера для кристалу зводиться до розв’язку рівняння (1.7), що описує рух електронів в полі нерухомих ядер та до розв’язку рівняння (1.12), що описує рух ядер. При цьому потенціальною енергією в рівнянні руху ядер (1.12) є власні значення енергії рівняння руху електронів (1.7), розв’язок якого розглянуто в попередніх розділах 1.2. Таким чином, будемо вважати, що нам відомо потенціальна енергія кристалічної решітки. Рівняння руху кожного атома кристалу описується силою, що складається із зовнішньої сили, в полі якої знаходиться кристал, і потенціальної сили з боку інших атомів кристалу, яка виражається через його потенціальну енергію. Для запису рівняння руху введемо координати кристалічної решітки. Рівноважне положення атомів у вузлах кристалічної решітки описується вектором , (21.1) де – радіус-вектор вузла кристалічної решітки з номером n (4.1), – вектор, що описує положення атома сорту i в примітивній комірці кристалу. Номер сорту атома i приймає значення , де – число сортів атомів в кристалі. Вектор зміщення атома сорту i в примітивній комірці n позначимо, як . Таким чином, положення атома сорту i в примітивній комірці n в довільний момент часу можна описати вектором . (21.2) Вектор зміщення атома у виразі (21.2) залежить від положення атома і часу. Ця залежність визначається рівнянням руху кристалічної решітки. Для запису рівняння руху кристалічної решітки розглянемо потенціальну енергію кристалу F. Потенціальна енергія кристалу Fє функцією миттєвих положень всіх атомів. Розкладаючи функцію F в ряд Тейлора за степенями проекцій векторів зміщень атомів на вісі декартової системи координат, отримаємо . (21.3) В рамках гармонічного наближення знехтуємо у виразі (21.3) всіма степенями вище другої. Тут F0 є потенціальною енергією атомів кристалу в положенні рівноваги. У виразі (21.3) , (21.4) , (21.5) де індекс 0 означає, що похідна береться для рівноважного положення атомів. Сила, що діє на атом сорту i в примітивній комірці n з боку інших атомів і зовнішнього потенціального поля, визначається потенціальною енергією кристалу згідно виразу . (21.6) Підставляючи (21.3) в (21.6), отримаємо . (21.7) Величини , , що визначають потенціальну енергію кристалу та сили, що діють на атоми кристалу, називають силовими постійними. Величина ще має назву матриці силових постійних. Згідно (21.7) , має зміст взятої з оберненим знаком a – проекції сили, яка діє в рівноважній конфігурації на атом в положенні . Для вільного кристалу, що не знаходиться в зовнішньому полі, ця сила дорівнює нулю. Таким чином, для цього випадку маємо . (21.8) Рівняння руху кристалічної решітки можна подати у вигляді , (21.9) де Mi – маса атома сорту i. Підставляючи (21.7) і (21.8) у (21.9), отримаємо систему рівнянь . (21.10) Система рівнянь (21.10) описує рух кристалічної решітки вільного кристалу. Змістимо всі атоми кристалу на довільний постійний вектор . (21.11) Підставляючи (21.11) в (21.10), матимемо . (21.12) Враховуючи, що компоненти вектора ab є незалежними, з (21.12) одержимо . (21.13)
Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 48; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |