Свойства обратной матрицы

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Обратная матрица

Формула Лапласа

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов всякой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример.

Найти определитель матрицы путем разложения по элементам 1 столбца, если

А=

Решение:

Ответ: detA=5.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если det A не равен 0. В противном случае (det A равен 0) матрица А называется вырожденной.

Матрица А^-1 называется обратной квадратной матрице А, если выполняется условие:

,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Союзной к матрице А называется матрица вида:

,

где - алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

1. Найти определитель матрицы А.

det А ≠ 0

2. Составить матрицу А^* из алгебраических дополнений элементов А.

3. Транспонировать матрицу А^* для получения союзной матрицы А^*_т

4. Домножить матрицу А^*_т на 1/detA для получения обратной матрицы А^-1.

1. .

2. .

3. .

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

А=

Решение:

Найдем определитель матрицы

detA=

Разложим этот определитель по элементам третьей строки, т.е.

detA=a ∙A +a ∙A +a ∙A =0+0+1∙ =4

A = =4, А =- =0, А =- =0, А = =0

A = =-2, А = =1, А =- =0, А = =-8,

А =- =-2, А = =4

Следовательно:

=

Далее: =

Находим:

А =1/4∙ =

Делаем проверку

А∙А = ∙ =

Ответ: А =

Дата добавления: 2017-02-01