Решение систем линейных уравнение по формулам Крамера

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Представим систему линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде. Пусть

А – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных (её называют основной матрицей системы),

Х – матрица-столбец неизвестных

В – матрица-столбец свободных членов.

Тогда систему (1) можно записать при помощи этих матриц следующим образом:

A× Х=В (2)

Действительно,

Уравнение (2) равносильно системе (1).

Матричная запись системы (1) аналогична записи уравнения с одним неизвестным a x=b, решением которого при будет . Естественно поставить аналогичный вопрос для решения матричного уравнения A × Х=В.

Если матрица А – невырожденная, т.е. detA ≠ 0 и А имеет единственную обратную матрицу А^-1, то Х = А^-1 В – решение системы уравнений (1).

Пример.

Решите систему матричным методом

Решение:

Ответ: (1; 1; 1)

Теорема. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам:

Х₁= , X₂ = ,…, x_n= _, где

D – определитель системы

D_n – определитель, который получается из определителя системы путем замены только n-го столбца столбцом свободных коэффициентов системы.

Рассматривают различные случаи:

1. Система является совместной и определённой, если её определитель D≠0.

2. Система является совместной, но неопределённой, если все её определители равны нулю:

D = D₁ = D₂ =…= D_n = 0

3.Система несовместна, если только определитель системы D=0

Пример.

Решите систему по формулам Крамера

Решение:

Определитель системы вычислим по правилу треугольников

D= = 42+36+2-(-21+36-4) = 69 ≠ 0

D_1, D₂, D₃ вычислим по формуле Лапласа.

D₁= = (определитель разложим по первому столбцу)

=19 ∙ - 30 ∙ - 1 ∙ = 19∙(42+4)-30∙(18-1)-1∙(12+7) = 19∙46-30∙17-19 = 345

D₂ = = (разложим по второму столбцу)

= -19 ∙ +30 ∙ +1·∙ = -19∙(12-12)+30∙(6+3)+(4+2) = 30·9+6 = 276

D₃= = (разложим по третьему столбцу)

= 19 ∙ - 30 ∙ -1 ∙ = 19∙23)-30∙10)-1·1 = -138

Тогда

х₁= =5

х₂= =4

х₃= = -2

Ответ: (5; 4; -2).

Дата добавления: 2017-02-01