Основные понятия

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Свойства ранга матрицы

Ранг матрицы

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначается rangA или r(A).

Из определения следует:

1. Ранг матрицы А не превосходит меньшего из ее размеров.

2. r(А)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны 0.

3. Для квадратной матрицы n-ого порядка r(А)=n, тогда и только, когда матрица А – невырожденная.

Пример.

Найти ранг матрицы

А=

Решение:

Все миноры 3-ого порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля =-15 . Значит, ранг данной матрицы равен двум (rang А=2)

Ответ: r(А)=2

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример.

Найти ранг матрицы путем элементарных преобразований

А=

Решение:

~ ~ ~ ~

~ ~ ~

Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (rang A=2).

Ответ: r(A)=2

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

При помощи матриц очень удобно записывать произвольные системы первой степени (линейные системы). Рассмотрим произвольную линейную систему из m уравнений с n неизвестными.

(1)

Если m=n, то будем называть систему квадратной n-го порядка, если m<n - укороченной (с такими системами встречаются в экономике), при m>n - удлиненной (такие системы встречаются в геодезии).

Дата добавления: 2017-02-01