Консервативные силы. Потенциальная энергия. Связь между потенц. Энергией и силой.

Силы, работа кот.не зависит от пути, по которому двигалась частица, а зависит лишь от нач.и конечного положений частицы, наз. консервативными. Консервативные силы можно определить как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю. Если в системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы равна 0.

Потенциальная энергия это энергия взаимодействия тел или частей тела. Потенц.энергия определяется взаимным расположением тел или частей тела, т.е. расстояниями между ними. Это физич. величина, кот.равна изменению некоторой физич.величины mgh. Она равна работе, кот.соверш.сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Связь между пот.эн.и силой: Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна где - проекция силы на направление . ; ;Откуда .Последнее выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы получить значение в точке нужно произвести предельный переход: ; .Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z: ; .

В математике вектор ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком .

5. Какое силовое поле называют потенциальным? Докажите, что однородное и центральное силовые поля являются потенциальными. Как определяется сила через потенциальную энергию?

Силово́е по́ле в физике — это векторное поле в пространстве, в каждой точке которого на пробную частицу действует определённая по величине и направлению сила. Если работа сил поля, действующих на перемещающуюся в нём пробную частицу, не зависит от траектории частицы, и определяется только её начальным и конечным положениями, то такое поле называется потенциальным.

Докажем, что всякое стационарное поле центральных сил потенциально. Для этого найдем работу центральных сил в случае, когда силовое поле вызвано наличием одной неподвижной частицы B, а затем обобщим результат на произвольный случай. Элементарная работа силы на перемещении есть Так как проекция вектора на вектор , или на соответствующий радиус-вектор , то Работа же этой силы на произвольном пути от точки 1 до точки 2 Полученное выражение зависит, очевидно, только от вида функции , т. е. от характера взаимодействия и от значений и - начального и конечного расстояний между частицами A и B. От формы пути оно никак не зависит. Это и означает, что данное силовое поле потенциально. Обобщим полученный результат на стационарное силовое поле, вызванное наличием совокупности неподвижных частиц, действующих на частицу A с силами .., каждая из которых является центральной. В этом случае работа результирующей силы при перемещении частицы A из одной точки в другую равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так как работа каждой из этих сил не зависит от формы пути, то и работа результирующей силы от нее также не зависит. Таким образом, действительно, любое стационарное поле центральных сил потенциально. Однородное силовое поле это поле, для которого сила, действующая на пробную частицу, постоянна во всех точках пространства. Оно также является потенциальным.

Сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком .

6. Что называют механической энергией? Сформулируйте закон ее сохранения. Дайте определение кинетической и потенциальной энергий и выведите закон сохранения энергии в механике.

Механическая энергия - энергия механического движения и взаимодействия тел системы или их частей.

Закон сохранения механической энергии: Полная механическая энергия, т.е. сумма потенциальной и кинетической энергии тела, остается постоянной, если действуют только силы упругости и тяготения и отсутствуют силы трения.

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением.

Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность некоего тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил.

Выведение: Рассмотрим систему материальных точек массами m ₁, m ₂,..., m_n, движущихся со скоростями v₁, v₂,..., v _n. Пусть , ,..., — равнодействующие внутренних консер­вативных сил, действующих на каждую из этих точек, a F₁, F₂,..., F _n — равнодейст­вующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначимf₁, f₂,..., f _n. При v<<c массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени d t совершают перемещения, соответственно равные dr₁, dr₂,..., dr _n. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dr _i ==v _i d t, получим

Сложив эти уравнения,получим (13.1).Первый член левой части равенства (13.1)

где d T — приращение кинетической энергии системы. Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (см. (12.2)).

Правая часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативных сил, дейст­вующих на систему. Таким образом,имеем (13.2)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2 т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состоя­ния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что d (T +П) = 0, откуда (13.3),

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной.

Дата добавления: 2017-02-01