Физический маятник. Его приведенная длина. Вывод формулы для расчета периода его свободных незатухающих колебаний.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести.

Вывод периода: При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α . Используем основное уравнение динамики вращательного движения

. Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид . Решение этого уравнения

Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. или . Из этого соотношения определяем . Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

21.23. Выведите уравнение колебательного движения, являющегося суперпозицией гармонических колебаний одного направления с близкими частотами. Изобразите результирующее колебание на графике. Как называется такой вид колебания?

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гар­монических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В ре­зультате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющей­ся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями. Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны w и w+Dw, причем Dw<<w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю: Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2<<w, найдем (144.3). Результирующее колебание (144.3) можно рассматривать как гармоническое с частотой w, амплитуда А_б, которого изменяется по следующему периодическому закону: (144.4). Частота изменения А_б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю),т. Е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: Период биений

22.Сложение взаимно-перпендикулярных гармонических колебаний. Получите уравнение траектории частицы, колеблющейся по осям х и у с одинаковой частотой. Каковы траектории при колебаниях по взаимно перпендикулярным осям с кратными частотами?

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой час­тоты w, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем

(145.1), где a — разность фаз обоих колебаний, А и В — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений (145.1) параметра t. Записывая складываемые колебания в виде и заменяя во втором уравнении coswt на х/А и sinwt на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относите­льно координатных осей произвольно: (145.2)

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

25. Какие силы называют квазиупругими? Каков характер движения тела под действием этих сил? Запишите дифференциальное уравнение гармонических незатухающих колебаний и его решение. Выведите формулу для расчета периода.

КВАЗИУПРУГАЯ СИЛА - направленная к центру О сила. модуль к-рой пропорционален расстоянию r от центра О до точки приложения силы (F=-cr), где с - постоянный коэф., численно равный силе, действующей на единице расстояния. К. с. является силой центральной и потенциальной с силовой ф-цией U = -0,5 cr ². Примерами К. с. служат силы упругости, возникающие при малых деформациях упругих тел (отсюда и сам термин "К. с."). Приближённо К. с. можно также считать касательную составляющую силы тяжести, действующей на матем. маятник при малых его отклонениях от вертикали. Для материальной точки, находящейся под действием К. с., центр О является положением её устойчивого равновесия. Выведенная из этого положения точка будет в зависимости от нач. условий или совершать около О прямолинейные гармонич. колебания, или описывать эллипс (в частности, окружность).

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение: (147.5) Применяем впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x₀ в случае механических колебаний равно F₀/m, в случае электромагнитных — U_m/L).

Решение уравнения равно сумме общего решения (146.5) однородного урав­нения и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х₀ :

(147.6). Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Подставляя выражение для s и его производных в уравнение (147.6), получаем

(147.7). Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что h=w. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s₀ и умножим ее числитель и знаменатель на

. Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме: , где (147.8); (147.9)

Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.5), равна (147.10)

где А и j задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеет вид

(147.11). Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения (147.12). (см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от w.

Выведите формулу для расчета периода: используем соотношение F=-kx (квазиупругая сила), где k — жесткость пружины. В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х. Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим: . Но , тогда: .

Или - ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к изменению положения равновесия.

Выразим ускорение: . Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения . Видно, что или - циклическая частота при колебаниях пружинного маятника. Период колебаний или (формула Гюйгенса).

Дата добавления: 2017-02-01