Формула полной вероятности

Доказательство теоремы о сложении вероятностей совместных событий

- для несовместных событий

- для совместных событий

Доказательство:

Так как события А и В считаются совместными, то событие наступит, если произойдет хотя бы одно из трех следующих несовместных событий:

Тогда (1)

Событие можно определить следующей алгеброй событий и вероятностью , откуда

(2)

Аналогично для события получим

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1), будем иметь:

Замечание. Совместные события и могут быть зависимыми или независимыми. Для независимых и совместных событий:

где

Для зависимых и совместных событий:

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: . Найти вероятность попадания при одном залпе (из двух орудий) хотя бы одним из орудий. Обозначим через – попадание первого орудия, а через – попадание второго орудия.

Отметим, что в данном случае и – независимые события, тогда . Искомая вероятность будет равна

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий , называемых гипотезами и образующих полную группу событий. При этом вероятности и будем считать известными.

Тогда справедлива формула полной вероятности

Формула полной вероятности – «удобная схема» (форма) расчета вероятности событий.

Пример 1. Имеются 2 набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора – стандартна. Обозначим, через событие – извлеченная деталь стандартна. В качестве гипотез удобно принять события - взята деталь из первого набора, - взята деталь из второго набора. Эти события несовместны (берут деталь один раз), образуют полную группу событий (деталь берут) и, в данном случае, равновероятны (набор выбирается наудачу): Выбор того или иного набора – условие. В различных наборах вероятность извлечения стандартной детали различна: Тогда рассмотрим сумму двух событий, каждое из которых, в свою очередь, состоит из произведения, т.е. формулу полной вероятности

Пример 2. В первом наборе 20 деталей и из них 18 - стандартны. Во втором наборе 10 деталей и из них 9 - стандартны. Из второго набора наудачу взята деталь и переложена в первый. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из первого набора, будет стандартна. Введем обозначения для событий: – из первого набора извлечена стандартная деталь, – из второго набора извлечена стандартная деталь, – из второго набора извлечена нестандартная деталь. Можно ли и - считать гипотезами?

Дата добавления: 2017-02-01