Функция Лапласа

Правило 3-х сигм

Нормальное (Гауссово) распределение

Квантили распределения

Свойства дисперсии

1.

2.

3.

4.

- среднее квадратическое отклонение (в линейных единицах)

- коэффициент вариации (изменчивости) (в относительных единицах)

Замечание. Коэффициент вариации применяют при анализе риска инвестирования.

Удобная формула расчета дисперсии:

- центральный момент – того порядка

3. - коэффициент асимметрии

4. - эксцесс (коэффициент островершинности)

н ормальное (Гауссово) распределение выступает в качестве

меры (эталона):

- квантиль уровня (вероятности) определяется как корень уравнения или, соответственно,

Квантили:

; квартили;децили;процентили.

(медиана)

Квартили

Квартили - ; Децили - ; Процентили - .

Квантили широко используется в робастной статистике:

178; 187; 1655, 175; 178 . Наблюдение 1655 – выброс (промах).

175; 178; 178; 187; 1655

6. Мода распределения -

		f (x)

Пример использования моды: размеры одежды, перепись населения.

,

- двухпараметрическое распределение,

- обозначение с.в., имеющей нормальная распределение

- - обозначение с.в., имеющей нормированное

(стандартное) нормальное распределение

Операции нормирования и центрирования:

;

- зона практического рассеивания

- стандартное нормальное распределение с.в. от до . Проще рассматривать случай, когда .

- табулированная функция Лапласа, широко используемая для определения вероятности попадания в диапазон значений:

.

Роль нормального распределения. Теоретики и практики («мифы»).

Центральная теорема: Сумма конечного числа нормальных с.в. есть нормальная с. в.

Центральная предельная теорема: Сумма бесконечного числа с.в. с любыми законами распределения, но с примерно одинаковыми дисперсиями, имеет нормальное распределение.

Многие экономические показатели имеют нормальный или близкий к нормальному закон распределения: доход населения, прибыль фирмы в отрасли и др.

Пример. В результате длительных наблюдений определено, что дивиденды и по акциям фирм и являются нормальными с. в.: ; . Стоимость каждой акции равна 100$. Инвестор хочет приобрести акции на 1000 $.

а)Какие законы распределения имеют доходы X, Y от вложения всей суммы в акции фирмы А или В? б)Каков закон распределения имеет доход Z от покупки акций в пропорции 2/3? в)Построить графики функций случайных величин X, Y, Z. г)Какова вероятность того, что полученный доход Z от вложения будет лежать в пределах от 110$ до 150$?

а) X ~ (50; ) или Y ~ (150, );

б) Z ~ (m_z=4 5+6 15=110, σ_z= );

в) При построении графиков целесообразно пользоваться правилом 3-х сигм и обязательно соблюдать условие нормировки ( площадь под кривой распределения одна и та же - равна единице).

г)Р(110≤Z≤150)=Ф(0,43)-Ф(0)=0,16 (используются таблицы функции Лапласа).

Равномерное (равновероятное, прямоугольное)

Дата добавления: 2017-02-01