Показательное (экспоненциальное) распределение

Распределение

F(x)

- характеристическое свойство показательного распределения

Приложение - функция надежности. Пусть объект анализа начинает функционировать в момент времени и по истечении выходит из строя. Обозначим через время безотказной работы. Тогда, вероятность отказа за время t равна:

Для оценки вероятности безотказной работы («накапливающиеся отказы») часто используется экспоненциальное распределение. При этом параметр распределения λ=λ(t) является функцией времени. Технические системы, в демографии – смертность.

«Внезапные отказы» - Гамма – распределение.

Распределение χ²

Сумма квадратов нормальных с.в. ~ (0,1) является с.в.

и имеет табулированное распределение χ² с числом степеней свободы. Здесь – число наложенных связей: обязательно - условие нормировки, и связи, связанные с расчетом тех или иных центральных или начальных моментов. Аналитическое выражение не приводится (сложное), распределение табулировано.

t - распределение (Стьюдента)

Если ~ (0,1), а ~χ² с степенями свободы, то с.в. имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. . Основное распределение малых выборок (до 15 -17 – ти наблюдений). Распределение табулировано

F - распределение (Фишера)

Если и – независимые случайные величины, распределенные по закону χ² с степенями свободы и , соответственно, то с.в.

имеет распределение Фишера (табулировано).

В статистике широко используют прием введения некоторой случайной величины, распределение которой не зависит от числовых характеристик исходного анализируемого распределения. Такие величины имеют распределение Стьюдента, Фишера и .

Двумерные с.в. («проклятие размерности»)

Уже было для событий и одномерных с.в.:

X

;

- двумерные функция и ряд распределения

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

- условие нормировки,

; – поверхность, ≥ 0

– неубывающая функция двух переменных, поверхность.

- получение одномерных плотностей

- условие нормировки (единичный объем)

- для независимых с.в.

- условные вероятности двумерной с.в.

Регрессия – линия условного мат- ожидания

(сечения поверхности )

Двумерный закон распределения является исчерпывающей характеристикой, но сложен, поэтому используют числовые характеристики:

- начальный смешанный момент

порядка

- центральный смешанный момент

порядка

К орреляционный (взаимокорреляционный, кросскорреляционный)

момент (ковариация)

- коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной связи.

Свойства

1) ; 2) ;

3)если и независимы, то 0; но

если 0, то это не означает, что и независимы;

4) ;

5)если - имеем детерминированную (функциональную) зависимость.

Замечание: Из некоррелированности нормально распределенной двумерной случайной величины следует независимость переменных:.

Eсли то

При возможен другой (нелинейный) вид регрессии (стохастической связи), например, .

Условные математические ожидания (регрессии)

.

Пример1. Дискретная двумерная с. в. задана таблицей распределения: Найти условное математическое ожидание с.в. при значении с.в. т.е. .

	0,15	0,06	0,25	0,04
	0,3	0,1	0,03	0,07

Пример регрессии X на Y. Условное математическое ожидание веса человека в функции от роста.

Пример регрессии Y на X. Расчет среднего роста человека при массе (весе) 75 кг. Задавая разные веса и рассчитывая средние статистические значения роста человека при данных весах получить стохастическую зависимость роста от веса.

Генеральная совокупность – одномоментно измеряют рост всего населения Земли (кто и как измеряет?). «Практические измерения – выборки – статистика».

Дата добавления: 2017-02-01