Методы оценки параметров известного распределения

Доверительные интервалы оценки среднеквадратического отклонения

Пусть вновь ~ , и - неизвестно, а . Тогда

где .

Доказано, что имеет табулированное распределение , независящее от параметров и исходного распределения, но зависящее от объема выборки и доверительной вероятности. Вычислив по выборке , находим по таблице , определяем границы доверительного интервала.

Пусть - с.в.; - выборка; - известный вид распределения с.в., - неизвестные параметры. Например,

Существуют два основных метода оценки параметров (параметризации):

1.Метод моментов (Пирсона)

Метод исходит из того, что оценки начального и центрального моментов распределения являются состоятельными оценками соответствующих начальных и центральных моментов. Это дает право приравнять соответствующие эмпирические и теоретические моменты, для точечной оценки параметров, например:

При этом надо получить не менее, чем уравнений для определения параметров распределения. Выбор начальных или центральных моментов должен производиться исходя из простоты вычислений эмпирических моментов и простоты аналитического выражения теоретических моментов.

Пример 1.

Пример 2. .

Достоинство метода моментов – простота.

2. Метод максимального правдоподобия (Фишера)

На основе выборки составляется функция правдоподобия:

,

где - есть вероятность того, что первое наблюдение равно , при векторе параметров , а - вероятность того, что второе наблюдение равно , при векторе параметров и т.д.

В качестве точечной оценки вектора параметров принимают такое его значение , при котором функция правдоподобия достигает максимума.

Чаще для удобства вычислений берут вместо функции правдоподобия ее логарифм: - логарифмическая функция правдоподобия.

И функция правдоподобия, и логарифмическая функция правдоподобия достигают максимума при одном и том же значении вектора параметров .

Последовательность действий при реализации метода максимального правдоподобия:

1. ;

2. ;

3. - уравнение правдоподобия; - корень уравнения.

4. .

Достоинства метода максимального правдоподобия:

1.оценки состоятельны;

2.оценки распределены асимптотически нормальны (при закон распределения оценок стремится к нормальному);

3.оценки имеют наименьшую дисперсию по сравнению с другими асимптотически нормальными оценками (эффективность является важнейшим свойством оценок в экономике).

4. Метод наиболее полно использует данные выборки об оцениваемом параметре, поэтому он особенно полезен в случае малых выборок.

Недостатки метода максимального правдоподобия:

1.сложность вычислений;

2.возможна смещенность оценок параметров распределения.

Дата добавления: 2017-02-01