Квазистационарные электрические токи

Предположим, что для токов смещения и токов проводимости справедливо условие

.

Так как , где , то

.

С учетом того что , , можно записать:

,

где w - частота распространяющегося электромагнитного поля;

e - относительная диэлектрическая проницаемость среды;

g - удельная проводимость среды;

r - удельное сопротивление среды.

Для металлических проводников , r» 10^-8 Ом×м, получаем, что токи смещения несущественны в области частот:

, (9.11)

т.е. вплоть до частот, соответствующих ультрафиолетовой части спектра.

Соотношение (9.11) является условием квазистационарности токов (критерием пренебрежения токами смещения).

С учетом того что инерционные свойства среды играют существенную роль, частотная оценка возникновения токов смещения на несколько порядков меньше, однако и после этого диапазон частот, при которых можно пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости, остается очень большим.

Надо отметить, что для переменных электромагнитных полей в вакууме и диэлектрике учет токов смещения как источника магнитного поля является необходимым при всех частотах, поскольку в них токи проводимости отсутствуют. Наличие токов смещения обуславливает существование электромагнитных волн.

Что касается критерия пренебрежения конечной скоростью распространения электромагнитных волн, то его роль определяется относительной величиной частоты и пространственных размеров области, в которой изучается процесс. Так, например, для технического тока частотой 50 Гц длина волны l»6×10⁶ м. Поэтому при рассмотрении вопросов, связанных с его передачей в пределах нескольких километров, этот ток можно рассматривать как квазистационарный. Если же рассматриваются вопросы, связанные с его передачей на многие тысячи километров, необходимо учитывать его переменность вдоль линии электропередачи и нельзя считать такой ток квазистационарным. Токи больших частот не являются квазистационарными даже при небольших размерах пространства.

Примером квазистационарного тока с определенной степенью точности может служить переменный ток, применяемый в различных областях промышленности и быту. Получают такой ток в устройствах, получивших название генераторов.

Возникновение переменного тока основано на возбуждении ЭДС индукции в контуре, вращающимся в магнитном поле.

Рассмотрим плоский прямоугольный контур abcd, который может равномерно вращаться вокруг оси ОО^' с угловой скоростью w = const, перпендикулярной однородному магнитному полю, c индукцией B = const (рис. 9.1). Магнитный поток Ф, связанный с таким контуром в любой момент времени t, будет равен

,

где S – площадь, ограниченная контуром;

wt = j - угол поворота контура, отсчитываемый от начального положения контура, при котором S ^ B.

При вращении контура поток Ф периодически изменяется. В связи с эти в контуре возникает периодически изменяющаяся ЭДС индукции, равная, согласно закону Фарадея,

.

Максимальное значение этой ЭДС (наступающее при ) равно

.

Тогда

. (9.12)

Следовательно, если в однородном магнитном поле равномерно вращается проводящий контур, то в нем возникает переменная ЭДС, изменяющаяся по синусоидальному закону. Эта ЭДС создает в контуре синусоидальный переменный ток:

, (9.13)

где - максимальное значение тока;

R₀ – сопротивление контура и электрической цепи, в которую отводится ток.

Из уравнения (9.13) видно, что переменный ток является колебательным (гармоническим) процессом. Поэтому названия характеристик колебательного процесса сохраняются и за характеристиками переменного тока. Так, например, называют:

- амплитудой ЭДС;

- амплитудой тока;

- круговой частотой тока;

n - частотой тока;

T – периодом тока;

wt – фазой тока.

На рис. 9.2 представлены графики изменения ЭДС и величины (силы) переменного тока. Очевидно, что изменения ЭДС и тока совершаются в данном случае в одинаковых фазах.

9.2.1. Работа и мощность переменного электрического тока

Известно, что работа А, совершаемая за время t постоянным током I на сопротивлении R₀, равна

, (9.14)

а мощность P постоянного тока выражается соотношением

. (9.15)

В случае переменного тока величина I изменяется со временем. Для малого промежутка времени dt величину тока I можно считать постоянной. Поэтому для выражения элементарной работы dA, совершаемой переменным током за время dt, можно записать

. (9.16)

Тогда работа А, совершаемая переменным током, равна

, (9.17)

где - эффективная сила переменного тока, или эффективный (действующий) ток.

С учетом формулы (9.17) для средней мощности переменного тока получим

. (9.18)

Аналогично эффективному току вводится понятие эффективного (действующего) напряжения:

, (9.19)

где U_m – максимальное (амплитудное) значение переменного напряжения.

Пользуясь понятиями эффективного тока и эффективного напряжения, можно записать выражения для работы и мощности переменного тока в виде

; (9.20)

. (9.21)

Таким образом, эффективная сила переменного тока равна силе такого постоянного тока, который имеет ту же мощность, что и данный переменный ток. Эффективный ток I_эф и постоянный ток I производят одинаковый внешний эффект, например, выделяют в проводнике одинаковое количество джоулева тепла.

Следует отметить, что полученные формулы выражают работу и мощность переменного тока на омическом (активном) сопротивлении R₀.

9.2.2. Емкостное и индуктивное сопротивления цепи переменному току

В цепях постоянного тока конденсатор представляет собой бесконечно большое сопротивление: постоянный ток не проходит через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора. При этом электрическая цепь как бы разрывается.

Цепи переменного тока конденсатор не разрывает: перезаряжаясь, он обеспечивает движение электрических зарядов, т.е. поддерживает переменный ток во внешней цепи. Из электромагнитной теории Максвелла следует, что переменный ток проводимости замыкается внутри конденсатора током смещения. Таким образом, для переменного тока конденсатор представляет собой конечное сопротивление, называемое емкостным сопротивлением.

Следовательно, для переменного тока проводник, помимо омического сопротивления, обладает емкостным сопротивлением.

Рассмотрим простейшую электрическую цепь, состоящую из источника переменного тока и конденсатора, включенного последовательно. Будем считать, что активное (омическое) сопротивление этой цепи мало (рис. 9.3).

Пренебрегая падением напряжения на малом омическом сопротивлении подводящих проводов, будем считать, что напряжение на обкладках конденсатора равно приложенной ЭДС:

. (9.22)

В любой момент времени заряд на конденсаторе

. (9.23)

Если за малый промежуток времени dt заряд конденсатора изменится на величину dq, то это означает, что в цепи существует ток I, равный

, (9.24)

где - амплитуда тока.

Выражение , переписанное в виде

, (9.25)

является выражением закона Ома.

Величина

, (9.26)

играющая роль сопротивления, представляет собой сопротивление конденсатора для переменного тока, т.е. емкостное сопротивление.

Из формулы (9.26) видно, что емкостное сопротивление обратно пропорционально емкости конденсатора и циклической частоте тока. Это означает, что величина переменного тока I_m~ .

Из сопоставления формул (9.26) и (9.25) видно, что изменения тока I и напряжения U_C совершаются в различных фазах: фаза тока на больше фазы напряжения. Следовательно, на емкостном сопротивлении ток опережает напряжение на четверть периода (по времени), или на 90⁰ (по фазе), что графически можно отобразить так, как показано на рис. 9.4.

Рассмотрим простейшую электрическую цепь, состоящую из источника переменного тока и катушки с индуктивностью L, включенной последовательно. Будем считать, что активное (омическое) сопротивление этой цепи мало (рис. 9.5).

Пренебрегая падением напряжения на малом омическом сопротивлении подводящих проводов, будем считать, что напряжение на концах катушки равно приложенной ЭДС:

. (9.27)

В этом случае на основании закона электромагнитной индукции в катушке появится ЭДС электромагнитной самоиндукции:

. (9.28)

Будем считать, что приложенное напряжение уравновешивается ЭДС самоиндукции (равно ей по величине):

.

Тогда, с учетом формул (9.28) и (9.27), можно записать

(9.29)

где

(9.30)

а

. (9.31)

Соотношение (9.31) является математической формой записи закона Ома. Из него видно, что индуктивное сопротивление равно

. (9.32)

Таким образом, индуктивное сопротивление пропорционально частоте переменного тока и величине индуктивности.

Из сопоставления формул (9.27) и (9.30) видно, что изменения тока I и U_L совершаются в различных фазах, причем фаза тока на меньше фазы напряжения. Это означает, что на индуктивном сопротивлении ток отстает от напряжения на четверть периода (по времени) или на 90⁰ (по фазе) (рис. 9.6). Сдвиг фаз обусловлен тормозящим действием ЭДС самоиндукции: она препятствует как нарастанию, так и убыванию тока в цепи.

Если в цепи переменного тока последовательно включены индуктивное и емкостное сопротивления, то напряжение на индуктивном сопротивлении будет опережать напряжение на емкостном сопротивлении на полпериода (по времени) или на 180⁰ (по фазе).

Емкостное и индуктивное сопротивления носят название реативного сопротивления. На реактивном сопротивлении электрическая энергия не расходуется. Этим реактивное сопротивление отличается от активного сопротивления. Связано это с тем, что энергия, периодически потребляемая на создание электрического поля в конденсаторе (во время его зарядки), в том же количестве и с той же периодичностью возвращается в цепь во время разрядки конденсатора. Точно так же энергия, периодически потребляемая на создание магнитного поля катушки (во время возрастания тока), в том же количестве и с той же периодичностью возвращается в цепь во время убывания тока. Поэтому в технике переменного тока вместо реостатов (активного сопротивления), которые всегда нагреваются и бесполезно расходуют энергию, часто применяют дроссели (индуктивное сопротивление). Дроссель представляет собой катушку самоиндукции с железным сердечником. Оказывая значительное сопротивление переменному току, дроссель практически не нагревается и не расходует электроэнергии.

Надо отметить, что небольшие потери энергии имеют место и на реактивном сопротивлении. Они связаны с рассеянием энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки, с нагреванием диэлектрика в конденсаторе поляризационным током смещения, с выделением джоулева тепла на омическом сопротивлении катушки (поскольку любая катушка обладает некоторым активным сопротивлением).

9.2.3. Обобщенный закон Ома. Электрический резонанс. Коэффициент мощности электрической цепи

Рассмотрим простую электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных омического R₀, емкостного R_C и индуктивного R_L сопротивлений (рис. 9.7).

При этом будем пользоваться методом векторных диаграмм, с которым познакомились при изучении гармонических колебаний.

Векторная диаграмма амплитуды общего тока I_m и амплитуд напряжения на сопротивлении U₀, на конденсаторе U_C и на катушке U_L электрической схемы, представленной на рис. (9.7), изображена на рис. (9.8). Амплитуда внешней ЭДС должна равняться геометрической сумме этих напряжений. Выполняя геометрическое сложение, показанное на рис. (9.8), для величины получим

, (9.33)

где

. (9.34)

С учетом выражений (9.34) уравнение (9.33) можно переписать в виде

, (9.35)

откуда

. (9.36)

Поделив обе части равенства (9.36) на , получим соотношение для эффективных значений тока и ЭДС:

. (9.37)

Формулы (9.36) и (9.37) являются математической формой записи обобщенного закона Ома для цепи переменного тока.

Из рис. 9.8 видно, ЭДС и ток I_m сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол j. При этом

. (9.38)

Таким образом, величина и направление сдвига фаз зависят от соотношения между величинами сопротивлений. Если R_L>R_C, то ЭДС опережает ток. Если R_L<R_C, то ЭДС отстает от тока. Если же R_L=R_C, то фазы ЭДС и тока совпадают, т.е. сдвиг фаз j=0. В этом случае при

(9.39)

в цепи наступает так называемый электрический резонанс (резонанс напряжений). Выражение (9.39) выражает условие электрического резонанса. Полное сопротивление цепи в этом случае наименьшее и равно только омическому сопротивлению, а ток в цепи будет максимальным и равным

. (9.40)

Следовательно, при электрическом резонансе (резонансе напряжений) в цепи, состоящей из последовательно соединенных омического, емкостного и индуктивного сопротивлений, полное сопротивление цепи минимально, а ток максимален и совпадает по фазе с приложенной ЭДС.

Величина

(9.41)

представляет собой полное сопротивление цепи переменного тока, которое называют импедансом и обозначают Z:

. (9.42)

В случае распространения в пространстве электромагнитного поля вводятся в рассмотрение различные виды импедансов.

Надо отметить, что в цепи, состоящей из параллельно соединенных омического, емкостного и индуктивного сопротивлений (рис. 9.9), тоже наступает электрический резонанс при частоте, определяемой соотношением (9.39). Однако в этом случае в проводах, подводящих напряжение, ток будет иметь минимальное значение. Такой электрический резонанс называют резонансом токов.

Согласно условию (9.39), электрический резонанс наступает при круговой частоте

(9.43)

или при частоте

. (9.44)

Эта частота называется резонансной частотой электрической цепи.

Известно, что средняя мощность, выделяемая переменным током на активном сопротивлении,

.

Если в цепи имеется реактивное сопротивление, то сдвиг фаз j, возникающий между током и напряжением, ведет к некоторому снижению мощности, выделяемой в цепи. В этом случае выражение для средней мощности имеет вид

. (9.45)

Множитель в выражении (9.45) называется коэффициентом мощности. Максимальное значение, равное единице, cosj имеет при отсутствии сдвига фаз между током и напряжением, т.е. при электрическом резонансе. В этом случае выделяемая мощность в цепи переменного тока максимальна и определяется по формуле

. (9.46)

Следовательно, для повышения мощности, отдаваемой переменным током в цепь, необходимо выполнять условия, при которых коэффициент мощности стремится к максимальному значению. Это условие достигается путем включения в цепи переменного тока определенных индуктивных и емкостных нагрузок, сочетание которых соответствуют резонансу электрической цепи.

Увеличение коэффициента мощности электрических цепей переменного тока является одной из важнейших народно – хозяйственных задач в области электроэнергетики.

9.2.4. Вихревые электрические токи (токи Фуко)

Вихревые электрические токи (токи Фуко) – это замкнутые электрические токи в массивном проводнике, возникающие при изменении пронизывающего его магнитного потока. Или вихревые электрические токи – это индукционные токи, возникающие в массивных проводниках, находящихся в переменном магнитном поле. Токи Фуко иногда играют полезную роль, а иногда вредную.

Электрическое сопротивление массивных проводников мало, поэтому токи Фуко могут достигать больших значений.

В соответствии с правилом Ленца токи Фуко выбирают внутри проводника такие пути и направления, чтобы своим действием противодействовать причине, которая их порождает. В связи с этим движущиеся в магнитных полях проводники испытывают торможение, обусловленное взаимодействием токов Фуко с магнитным полем. Это используется для создания демпфирующих (ускоряющих или замедляющих движение проводников) устройств подвижных частей электроизмерительных и других приборов. На подвижной части прибора укрепляется проводящая пластина (рис.9.10), которая вводится в зазор между полюсами постоянного магнита. При движении такой пластины в магнитном поле в ней возникают токи Фуко, вызывающие торможение подвижной системы прибора. Преимущество такого устройства состоит в том, что торможение возникает лишь при движении пластинки и исчезает, когда пластинка неподвижна. Поэтому такой успокоитель не препятствует точному приходу подвижной системы прибора в положение равновесия.

Формулу для оценки (определения) вихревых токов в проводниках можно получить, воспользовавшись основным законом электромагнитной индукции в виде

.

Поток магнитной индукции Ф, пронизывающий некоторый замкнутый контур площадью S, находящийся в проводнике, равен

.

Так как индукция магнитного поля изменяется с частотой, равной частоте переменного тока, то для ЭДС электромагнитной индукции (самоиндукции), которая может достигать больших значений, будем иметь

. (9.47)

С учетом того что сопротивление проводников мало, величина вихревых токов будет равна

. (9.48)

Из рассмотренного выше видно, что вихревые токи (токи Фуко):

1) образуют в пространстве вокруг себя мощные магнитные поля;

2) в проводниках выделяется большое количества тепла в единицу времени:

. (9.49)

Все это приводит к крайне вредному явлению, ведущему к рассеянию энергии, и поэтому при конструировании различных технических устройств (генераторов переменного тока, двигателей переменного тока, трансформаторов) применяют специальные меры к предупреждению возникновения вихревых токов. Все массивные части электротехнических устройств изготавливают из отдельных изолированных полос, расположенных так, чтобы в них не возникали вихревые токи (чтобы возможные направления токов Фуко были перпендикулярны изолированным пластинам). Появление ферритов (магнитных материалов с большим электрическим сопротивлением) сделало возможным изготовление сердечников электротехнических устройств сплошными.

Однако тепловое действие токов Фуко иногда бывает полезным и используется в так называемых индукционных печах, нашедших широкое применение в термической обработке различных металлов и сплавов, а также при получении материалов высокой чистоты в металлургии.

9.2.5. Скин-эффект

Известно, что токи Фуко, возникающие в проводниках, по которым текут переменные электрические токи, направлены так, что ослабляют токи внутри проводников и усиливают их вблизи поверхности. В результате быстропеременный ток оказывается неравномерно распределенным по сечению проводника – он как бы вытесняется к поверхности проводника. Это явление получило название скин-эффекта или поверхностного эффекта.

В результате наличия скин-эффекта у поверхности проводника плотность тока j максимальна, а внутри его j убывает и достигает наименьшего значения на оси проводника.

Напряженность электрического поля ведет себя внутри проводника аналогичным образом, так плотность тока и напряженность электрического поля, в силу закона Ома, пропорциональны друг другу

.

Чтобы доказать справедливость данных рассуждений, рассмотрим узкий контур в плоскости осевого сечения проводника (рис. 9.11). Циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру (т.е. ЭДС индукции) отлична от нуля, так как контур пронизывается переменным магнитным потоком, создаваемым током проводника. При этом вектор E ₂ меньше вектора E ₁, так как поле на оси проводника минимально. Оценить глубину проникновения (толщину скин-слоя), т.е. расстояние, на котором плотность тока во много раз меньше, чем на поверхности, можно следующим образом.

Рассмотрим два прямоугольных контура плоскости, которых нормальны друг другу (рис. 9.12). Один из них, «bcef», лежит в осевом сечении, высота его h₁, а ширина равна глубине проникновения r₀ (толщина скин-слоя). Циркуляция вектора напряженности электрического поля по этому контуру равна

,

поскольку поле на стороне «ce» почти равно нулю, а на двух других сторонах контура вектор напряженности электрического поля перпендикулярен к перемещению.

На основании закона электромагнитной индукции эта циркуляция вектора напряженности электрического поля численно равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур:

. (9.50)

Магнитный поток, пронизывающий этот контур,

~ .

Если период тока равен T, то изменение потока магнитной индукции за единицу времени

~ ~ ~ , (9.51)

где w - частота переменного тока.

Решая уравнения (9.50) и (9.51) для напряженности электрического поля, будем иметь

. (9.52)

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру «fbcd» равна

(9.53)

поскольку магнитное поле на внутренней стороне «cd» равно нулю.

Согласно закону полного тока,

,

где I~ - полный ток, находящийся внутри замкнутого контура.

Имеем

~ ,

т.е.

~ (9.54)

или

~ . (9.55)

Из уравнений (9.52) и (9.55) для толщины скин-слоя будем иметь

~ . (9.56)

Более строгая теория дает формулу для определения толщины скин-слоя, имеющую следующий вид:

. (9.57)

Оценка толщины скин-слоя приводит к следующему результату. Если по проводнику течет ток, частота которого равна 10⁷ Гц, то толщина скин-слоя составляет порядок равный 10^-4 м.

Из рассмотренного видно, что при больших частотах нет надобности в проводниках большого сечения, так как ток в них будет существовать только в поверхностном слое. Поверхностный слой будет при этом сильно нагреваться, в то время как остальная часть проводника (при кратковременном пропускании тока) остается холодной. На этом основан метод поверхностной закалки изделий, изготовленных из различных сталей. При этом если поверхность изделий упрочняется при закалке, то внутренняя часть его остается незакаленной, т.е. вязкой, и вся деталь оказывается стойкой как по отношению к износу поверхности, так и по отношению к ударным нагрузкам.

Существование скин-эффекта означает, что электромагнитная волна, попадающая на поверхность проводника (металла, электролита или плазмы), быстро затухает, проникая лишь на глубину, равную скин-слоя. Таким образом, скин-эффект характерен не только для переменных токов, но и для электромагнитных полей.

Магнитный скин-эффект заключается в неравномерном распределении магнитного потока по сечению проводника.

заключение

Изложение раздела «Электромагнитные явления» общего курса физики в виде конспекта лекций закончено. Начав изложение этого раздела с введения, в котором сформулированы основные цели и задачи, в конспекте лекций последовательно рассмотрены вопросы, относящиеся к классической электродинамике: магнитостатика, магнитное поле в вакууме и его характеристики, закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету простейших магнитных полей прямолинейного и кругового токов, магнитное взаимодействие токов, силы Лоренца и Ампера, показано, что магнитное поле носит вихревой характер, уделено внимание простейшим расчетам магнитных цепей.

Достаточно подробно рассмотрена природа магнитных свойств вещества и основные свойства диамагнетиков, парамагнетиков и ферромагнетиков. Раскрыта сущность явлений электромагнитной индукции и самоиндукции и применение их законов.

Определенное место в пособии занимают вопросы, связанные с движением заряженных частиц в электромагнитном поле, что способствует созданию современных методов и средств при исследовании различных свойств вещества и созданию современных методов исследования.

В определенной последовательности в конспекте лекций рассмотрены электромагнитные колебания и волны и их применение в различных отраслях науки и техники.

Довольно просто, а вместе с тем на достаточном теоретическом уровне, представлена теория Максвелла и его уравнения, которые играют существенную роль в учении об электромагнетизме. Введено представление о волновой природе света.

В соответствии с программой курса физики в конспекте лекций содержатся необходимые, на наш взгляд, вопросы, связанные с принципом относительности в электродинамике и квазистационарным электромагнитным полем, с квазистационарными электрическими токами.

Приведенный неполный перечень вопросов, изложенных в конспекте лекций, позволяет проследить логику в развитии учения об электромагнитных явлениях и эволюцию его идей, а также представить основные периоды и этапы становления этого учения.

Со времени появления первых гипотез, теорий и экспериментов прошло более трехсот лет. За это время учение об электромагнетизме прошло путь от простейших теорий и экспериментов, от макроскопического уровня изучения явлений до исследования материи на уровне элементарных частиц.

В конспекте лекций акцентируется внимание на то, что электромагнитные явления играют большую роль в науке и технике. Огромные успехи, достигнутые в технологической революции, и особенно в XX столетии, связаны в основном с развитием учения об электромагнетизме, хотя современная физика и учение об электромагнетизме стоят перед целым рядом нерешенных проблем.

В настоящее время с особой силой подчеркивается практическая важность фундаментальных исследований. Это в первую очередь относится к исследованиям в области современной электроэнергетики. Решение стоящих перед ней проблем является важнейшим условием ускорения научно-технического процесса.

Физика является базисом для приобретения новых знаний как в процессе обучения, так и в процессе работы специалиста. Она является общенаучной основой познавания электротехники и других технических наук, использующих законы электромагнетизма. Открываемые новые эффекты в области электромагнетизма и новые электротехнические материалы находят техническое применение уже через несколько лет. Это требует определенной гибкости учебного процесса и его совершенствование соответственно темпам развития науки и техники (особенно в организации лекционного курса на базе экономичной затраты студенческого и преподавательского времени). Настоящий конспект лекций полностью отвечает основным задачам курса физики в вузах нефизического профиля: развитию логического мышления, расширению представлений о многообразии свойств материи, подготовке к усвоению последующих дисциплин рабочего учебного плана.

РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Дата добавления: 2017-02-01