Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве.

[1] глава 3, §3.1, c. 63 – 67, с. 67 – 68 пример 3.1.

[5] глава 2, §2, с. 45 – 47, с. 47 – 48 №243 – 245, с. 50 №259, с.55 №288.

[7] с. 22 §1.5 пример 1, с. 64 пример 1.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2. Даны координаты точек: А(3;0; –5), В(6;2;1), С(12; –12;3).

Требуется: 1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов; 2) вычислить угол между векторами ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

Решение. 1. Если даны точки и , то вектор через орты выражается следующим образом:

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

Аналогично определяем координаты вектора

Модуль вектора вычисляется по формуле:

Подставим в формулу (2) координаты векторов получим модули этих векторов:

2. Косинус угла , образованного векторами , равен их скалярному произведению, деленному на произведение модулей этих векторов, т.е.

Скалярное произведение векторов вычислим по формуле: В результате будем иметь . Исходя из формулы (3), имеем:

3. Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору , имеет вид:

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С(12; перпендикулярно вектору Подставляя в формулу (4) данные задачи, получим:

– искомое уравнение плоскости.

Вопросы для самопроверки.

1. Какие величины называются скалярными? Что называется вектором?

2. Какие вектора называются коллинеарными?

3. Какие вектора называются равными?

4. Какие существуют операции над векторами?

5. Как определить координаты вектора, если известны координаты начала и конца вектора?

6. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

7. Запишите скалярное произведение в координатной форме.

8. Напишите формулу для вычисления угла между двумя векторами.

9. Сформулируйте условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.

10. Напишите общее уравнение плоскости.

11. Напишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

12. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

13. Напишите формулу для определения расстояния от точки до плоскости.

Дата добавления: 2017-02-01