Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки имеет вид x =A+B t +C t ³, А = 2 м, В = 2 м/с, С = - 0,5 м/с³. Найти координату, скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с.

Дано: х = А+B t +C t ³ А = 2 м В = 1 м/c С = 1 м/с³ t = 2 c х =? V =? а =?

Решение:

Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

х = (2 + 1∙2 - 0,5∙2³) м = 0

Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная координаты по времени:

.

Ускорение - вторая производная координаты по времени:

.

В момент времени t = 2 c

Ответ: В момент времени t = 2 c координата х = 0; мгновенная скорость V = -5 м/c; ускорение а = -6 м/c². Знак минус показывает, что точка движется с ускорением в сторону, противоположную оси х.

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = А + B t + C t ², где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = -2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения для момента времени t = 4 с.

Дано: φ = А+B t +C t ² А = 10 рад В = 20 рад/с С = 2 рад/с² r = 0,1 м а =?

Решение:

В векторной форме полное ускорение , может быть представлено, как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорений:

В скалярной форме нормальное (центростремительное) ускорение может быть представлено, как

, (1.1)

где ω – угловая скорость, а r – радиус окружности по которой движется точка. Т.к. угловая скорость – есть первая производная угла по времени, то

,

Тангенциальное (касательное) ускорение можно посчитать по формуле:

, (1.2)

где ε – угловое ускорение. По определению угловое ускорение – это вторая производная угла по времени или первая производная угловой скорости по времени, т.е.

.

Учитывая, что вектор нормального ускорения всегда перпендикулярен вектору тангенциального ускорения , можно записать, что модуль полного ускорения точки

Подставляя выражения для и в формулы (1.1) и (1.2), получим

Тогда полное ускорение

В момент времени t = 4 c полное ускорение

м/c².

Ответ: Полное ускорение точки в момент времени t = 4 c а = 1,65 м/c².

Пример 3. Шар массой т ₁ = 0,5 кг, движущийся горизонтально с некоторой скоростью, столкнулся с неподвижным шаром массой т ₂ = 0,2 кг (рис.1.1). Шары соударяются абсолютно упруго, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Дано: т ₁ = 0,5 кг т ₂ = 0,2 кг w =?

Решение:

Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением:

, (1.3)

где – кинетическая энергия первого шара до удара; U ₂ и - скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1.3), для определения w надо найти U ₂. Согласно условию задачи, сумма импульсов системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется, и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, запишем:

, (1.4)

. (1.5)

Решая совместно уравнения (1.4) и (1.5) найдем U ₂:

.

Подставив выражение U ₂ в формулу (1.3) и сократив на V ₁ и m ₁, получим

. (1.6)

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Проверим размерность расчетной формулы:

.

Подставим в (1.6) числовые значения и рассчитаем:

или

Ответ: Первый шар передал второму шару 82% своей первоначальной энергии.

Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m = 80 г, перекинута тонкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m ₁=100 г и m ₂=200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением в оси блока и массой нити пренебречь.

Дано: m ₁=100 г = 0,1 кг m ₂=200 г = 0,2 кг m = 80 г = 0,08 кг а =?

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действует две силы: сила тяжести и сила натяжения нити.

Направим ось x вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

, (1.7)

для второго груза

(1.8)

Под действием моментов сил Т ₁^/ и T ₂^/ относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение e. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

, (1.9)

где - момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z, проходящей через середину диска перпендикулярно плоскости чертежа. Угловое ускорение e блока выразим через тангенциальное ускорение а_t и радиус r блока:

В нашем случае а = а_t.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити Т ₁^/= Т ₁, T ₂^/= Т ₂. Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (1.9) вместо Т ₁^/ и T ₂^/ выражения Т ₁ и Т ₂, получив их предварительно из уравнений (1.7) и (1.8):

.

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем:

. (1.10)

Проверим размерность:

После подстановки числовых значений в формулу (1.10) получим:

Ответ: Грузы будут двигаться с ускорением а = 2,89 м/с².

Пример 5. Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2 м и массой m = 50 кг раскручен до частоты вращения n ₁ = 480 мин^-1 и предоставлен сам себе (рис.1.3). Под действием сил трения маховик остановился через t = 50 с. Найти момент сил трения.

Дано: R = 0,2 м m = 50 кг n ₁ = 480 мин^-1= 8с^-1 t = 50 с М =?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде:

, (1.11)

где dL_z – изменение проекции момента импульса вращающегося маховика на ось z, совпадающей с его геометрической осью, за интервал времени dt; M_z – результирующий момент внешних сил (в данном случае момент силы трения), действующих на маховик относительно оси z.

Момент силы трения можно считать не изменяющимся с течением времени (M_z=const), поэтому интегрирование уравнения (1.11) приводит к выражению

. (1.12)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение проекции момента импульса равно:

, (1.13)

где J_z - момент инерции маховика относительно оси z; D w - изменение угловой скорости маховика.

Приравнивая правые части равенств (1.12) и (1.13), получим:

,

откуда

. (1.14)

Момент инерции маховика (диска или сплошного однородного цилиндра) относительно оси, проходящей через его центр масс, определяется по формуле

.

Изменение угловой скорости D w = w ₂ - w ₁ выразим через конечную n ₂ и начальную n ₁ частоту вращения. Пользуясь соотношением w = 2 p×n, запишем

.

Подставив в формулу (1.14) выражения для D w и J_z, получим:

. (1.15)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу измерения момента силы (Н×м). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

Подставим в формулу (1.15) числовые значения величин и произведем вычисления:

Н×м.

Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает на маховик тормозящее действие.

Ответ: Момент силы трения равен М_z = -1 Н×м.

Пример 6. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 ми массой m ₁ = 180 кг вращается вокруг вертикальной оси с частотой n = 10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой m ₂ = 60 кг. Какую линейную скорость V относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы? Человека рассматривать как материальную точку.

Дано: R = 1,5 м m ₁ = 180 кг n = 10 мин^-1 = 1/6 с^-1 m ₂ = 60 кг V =?

Решение:

Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция момента импульса системы “платформа – человек” остается постоянной:

, (1.16)

где J_z - момент инерции платформы с человеком относительно оси z; w - угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии J_z= J ₁ +J ₂, а в конечном состоянии J_z^/= J ₁ ^/+J ₂ ^/. С учетом этого равенство (1.16) примет вид

, (1.17)

где значения моментов инерции J ₁и J ₂ платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы, J ₁ ^/ и J ₂ ^/ - к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси при переходе человека не изменяется: J ₁ =J ₁ ^/= m ₁ R ²/2. Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J ₂ в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека J ₂ ^/ = m ₂ R ².

Подставим в формулу (1.17) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (w = 2 p×n) и конечной угловой скорости (w^/=V/R, где V – скорость человека относительно пола):

.

После сокращения на R ² и простых преобразований находим скорость V

.

Проверка единиц измерения:

.

Произведем вычисления:

Ответ: При переходе человека на край платформы его скорость относительно пола помещения равна 1 м/с.

Пример 7. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном положении. При какой минимальной скорости V ₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R_З= 6,37×10⁶м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Дано: R_З = 6,37×10⁶ м g = 9,81 м/с² V ₁ =?

Решение:

Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющейся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты меняться не будет. Следовательно:

, (1.18)

где Е_{К 1}, Е_{п 1} и Е_{К 2}, Е_{п 2} – кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и в конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.

Согласно определению кинетической энергии:

.

Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии:

.

По мере удаления ракеты от поверхности Земли потенциальная энергия возрастает, а кинетическая – убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Е_{К 2} станет равной нулю, а потенциальная – достигнет максимального значения

.

Подставляя выражения Е_{К 1}, Е_{п 1}, Е_{К 2}, и Е_{п 2} в уравнение (1.18), получаем:

.

откуда

.

Зная, что (g – ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде

,

что совпадает с выражением для первой космической скорости.

Сделаем проверку размерности:

Произведем вычисления:

Ответ: Имея начальную скорость 7,9 км/с, ракета сможет удалиться от Земли на расстояние, равное радиусу Земли.

Пример 8. Сплошной однородный диск колеблется вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через край диска (рис.1.4 точка О). Найти радиус диска, если приведенная длина этого физического маятника равна 0,15 м.

Дано: L = 0,15 м R =?

Решение:

Приведенная длина физического маятника

где J – момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку О; d – расстояние от оси вращения до центра тяжести, в данном случае d = R.

По теореме Штейнера

,

где J_С – момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящий через центр масс. Для диска

.

Итак

.

Откуда находим

.

Делаем расчет:

м.

Ответ: Радиус диска должен быть 0,10 м.

Пример 9. Верхний конец стержня закреплен неподвижно, к нижнему концу подвешен груз массой m = 2000 кг (рис.1.5). Длина стержня l ₀ = 5 м, сечение S = 4 см². Определить механическое напряжение s материала стержня, абсолютное D l и относительное e его удлинения и потенциальную энергию Е_п растянутого стержня.

Дано: т = 2000 кг = 2×10³ кг l ₀ = 5 м S = 4 см² = 4×10^-4м² Е = 2×10¹¹ Н/м² s =?D l =? e =? Е_п =?

Решение:

Нормальное напряжение материала растянутого стержня найдем по формуле

где F – сила, действующая вдоль оси стержня.

В нашем случае сила F равна весу груза P = mg, поэтому

. (1.19)

Для нахождения относительного удлинения воспользуемся законом Гука

, (1.20)

где Е – модуль Юнга, откуда

. (1.21)

Используя определение относительного удлинения, найдем абсолютное удлинение стержня

. (1.22)

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня:

. (1.23)

Произведем проверку единиц измерения:

; ;

Делаем расчет, используя уравнения (1.19, 1.21 - 1.23):

;

;

;

Дж.

Ответ: Нормальное напряжение стержня s = 4,9×10⁷ Н/м² при абсолютной деформации D l = 1,23×10^-3 м. Относительное удлинение e = 2,45×10^-4 и потенциальная энергия Е_п= 12,1 Дж.

Дата добавления: 2017-02-01