Системы линейных уравнений

Определение обратной матрицы; отсутствие обратной матрицы у вырожденной

Пусть А= ­– квадратная матрица.

Определение: матрица называется обратной к матрице А, если выполнено равенство . (5.19)

Отметим, что вырожденная матрица обратной иметь не может, ибо если detA=0, то из (5.19) и (5.15) имеем: (противоречие).

5.10 Теорема о существовании обратной матрицы и алгоритм её нахождения

Имеет место следующая теорема:

Всякая невырожденная матрица А=имеет обратную матрицу = =, элементы которой находят по формуле: (5.20)

, а – её алгебраические дополнения.

Доказательство теоремы:

Пусть . Тогда:

(5.20) (5.3)

(5.21)

Используем далее 11-е и 12-е свойства определителей (см. §2.2 и §2.3). Если i=j, то

, (5.22)

ибо последняя сумма является разложением определителя Δ по его i-й строке.

В случае будет (5.23)

(сумма произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения другой j-й строки см. 12-е св-во), и тогда , если .

Сопоставляя (5.22) и (5.23), имеем: , т.е. В=Е, и теорема доказана.

Равенство читателю предлагается доказать самостоятельно (в этом случае определитель Δ в равенстве (5.22) будет разлагаться по j-му столбцу).

Отметим, что определенная формулой (5.20) обратная матрица единственна, ибо если и – такие матрицы, что , то , и

, т.е. ==.

Покажем также, что

(5.24)

В самом деле: , и (5.24) доказано.

Итак, мы показали справедливость следующих свойств произведений матриц:

1) ;

2) и ;

3) ;

4) det(AB)=detAdetB;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Свойства 1) ÷ 6) были доказаны ранее.

Свойство 7) очевидно, ибо если 0=В =с для любых l и j, то для произведения имеем:

для любых i и j, т.е. С=0.

Покажем свойство 8):

Пусть А =; В =.

Тогда произведение c . (5.25)

Также: с ; (5.26)

с (5.27)

и c . (5.28)

c ; (5.29)

c . (5.30)

Из равенства (5.30) имеем:

(5.27) (5.3) (5.25) (5.28)

,

(5.28) (5.25) (5.3) (5.26) (5.29)

и ,

т.е. P=G=H, или , и свойство 8) доказано.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Из формулы (5.20), чтобы найти обратную матрицу , нужно:

1) найти детерминант матрицы А; если он равен нулю, то обратной нет. Если detA0, то находим

2) матрицу из алгебраических дополнений;

3) транспонируем эту матрицу ;

4) всякий элемент матрицы делим на detA, получим матрицу .

Рассмотрим пример: Пусть . Найдем обратную матрицу :

1) detA = –20;

2) дополнения: ; ; ; и ;

3) ;

4) .

Дата добавления: 2014-01-04