Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Системы линейных уравнений





Определение обратной матрицы; отсутствие обратной матрицы у вырожденной

Пусть А= ­– квадратная матрица.

Определение: матрица называется обратной к матрице А, если выполнено равенство . (5.19)

Отметим, что вырожденная матрица обратной иметь не может, ибо если detA=0, то из (5.19) и (5.15) имеем: (противоречие).

5.10 Теорема о существовании обратной матрицы и алгоритм её нахождения

 

Имеет место следующая теорема:

Всякая невырожденная матрица А=имеет обратную матрицу = =, элементы которой находят по формуле:(5.20)

, а – её алгебраические дополнения.

Доказательство теоремы:

Пусть . Тогда:

(5.20) (5.3)

(5.21)

Используем далее 11-е и 12-е свойства определителей (см. §2.2 и §2.3). Если i=j, то

, (5.22)

ибо последняя сумма является разложением определителя Δ по его i-й строке.

В случае будет (5.23)

(сумма произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения другой j-й строки см. 12-е св-во), и тогда , если .

Сопоставляя (5.22) и (5.23), имеем: , т.е. В=Е, и теорема доказана.

Равенство читателю предлагается доказать самостоятельно (в этом случае определитель Δ в равенстве (5.22) будет разлагаться по j-му столбцу).

Отметим, что определенная формулой (5.20) обратная матрица единственна, ибо если и – такие матрицы, что , то , и

, т.е. ==.

Покажем также, что

(5.24)

 

В самом деле: , и (5.24) доказано.

 

Итак, мы показали справедливость следующих свойств произведений матриц:

1) ;

2) и ;

3) ;

4) det(AB)=detAdetB;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Свойства 1) ÷ 6) были доказаны ранее.

Свойство 7) очевидно, ибо если 0=В =с для любых l и j, то для произведения имеем:

для любых i и j, т.е. С=0.

Покажем свойство 8):

Пусть А =; В =.

Тогда произведение c . (5.25)

Также: с ; (5.26)

с (5.27)

и c . (5.28)

c ; (5.29)

c . (5.30)

Из равенства (5.30) имеем:

(5.27) (5.3) (5.25) (5.28)

,

(5.28) (5.25) (5.3) (5.26) (5.29)

и ,

т.е. P=G=H, или , и свойство 8) доказано.

 

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Из формулы (5.20), чтобы найти обратную матрицу , нужно:

1) найти детерминант матрицы А; если он равен нулю, то обратной нет. Если detA0, то находим

2) матрицу из алгебраических дополнений;

3) транспонируем эту матрицу ;

4) всякий элемент матрицы делим на detA, получим матрицу .

Рассмотрим пример: Пусть . Найдем обратную матрицу :

1) detA = –20;

2) дополнения: ; ; ; и ;

3) ;

4) .

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 218; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.