Свойства определителей

Свойство 1. (“Равноправность строк и столбцов”) Определитель не измениться, если его строки заменить столбцами, и наоборот.(т.е. при транспонировании)

=

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2.При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

=0

Свойство 4. Общий множитель элементов, какого – либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

=2

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

=0

Свойство 5. Если элементы какого – либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

=+

Свойство 6. („Элементарные преобразования определителя”) Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Дальнейшие свойства определителя связаны с понятием минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель n-1 порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается m_ij

Так если ∆= , то m₁₁ = , m₃₂=

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется минор, взятый со знаком «плюс», если i+j- четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается aij.

A_ij= (-1)i+j∙m_ij.

Так, А₁₁= +m₁₁; A₃₂=-m₃₂

Свойство 7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда») Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Пример.

Найти ∆ =

Решение. Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

=3∙ – (-1)∙ + 0∙ -1∙ =

= 3∙ (7∙3∙4+(-1) ∙0∙2+5∙7∙1-(-1) ∙3∙1-7∙7∙2-5∙0∙4)+ (5∙3∙4+(-1) ∙7∙2+5∙7∙8-(-1) ∙3∙8-5∙7∙4-5∙7∙2)+0- -(5∙0∙2+7∙1∙5+7∙3∙8-5∙0∙8-3∙1∙5-7∙7∙2)=122

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого –либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю. Пример: а₁₁∙А₂₁+а₁₂∙А₂₂+а₁₃∙А₂₃=0

Свойство 9. Если одна из строк или столбцов определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Свойство 10.Если все элементы некоторого ряда определителя умножить на число k≠0, то сам определитель умножиться на это число.

Дата добавления: 2014-01-04