Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие.

А*А^-1=А^-1*А=Е, где Е- единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Здесь уместна аналогия с обратным числом. Если а-действительное число, то обратное ему число а-1 можно найти из соотношения а*а^-1=1.

Теорема 3.1 Всякая невырожденная матрица имеет обратную. (т. е. ∆≠0)

Свойства обратной матрицы:

1. det(A^-1)=1/det A;

2. (А*В)^-1=В^-1*А^-1;

3. (А^-1)Т=(АТ)^-1.

Правило нахождения обратных матриц(А^-1):

1) Вычисляем определитель: det(A);

2) Вычисляем алгебраические дополнения для каждого элемента: A_ij;

3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений:

А =

4) Транспонируем полученную матрицу.

А^Т = ; А^Т = А*-союзная.

5) Находим обратную матрицу. А^-1= ; т. е. элемент А^Т делим

на det(A).

6) Проверка А^-1*А=А*А^-1=Е.

Пример1. Найти А^-1, если А=

Решение:1) Находим det(A) = = 2*1-3*(-1)=2+3=5≠0;

2) Находим алгебраические дополнения A_ij:

А₁₁=(-1)1+1*|1| = (-1)2*1=1

А₁₂=(-1)1+2*|1| = -1*(-1)=1

А₂₁=(-1)2+1*3=-1*3=-3

А22= (-1)2+2*2=(-1)4*2=2

3) Составим матрицу из алгебраических дополнений:

А=

4) Транспонируем полученную матрицу А

А^Т = т. е А^Т = А*=

5) Найдем обратную матрицу А^-1= А*/ det(A)

6) Проверка: А∙А^-1= ∙∙ =

Пример 2:

А=Ответ: А^-1=

Задания для самостоятельной работы: Проверочная работа

Стр. 225, 234. Найти матрицы, обратные данным.

Дата добавления: 2014-01-04