Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Кут між двома прямими

Читайте также:
  1. Коефіцієнт зв'язку між двома ознаками. Кореляційний і регресійний аналіз
  2. Конструкція й особливості розрахунку механізму головного підйому з двома підвісками
  3. Кут між двома прямими. Кут між прямою і площиною
  4. Лекція 13. Західноукраїнські землі між двома Світовими війнами
  5. Нарізання циліндричних коліс із прямими зубами внутрішнього зачеплення
  6. Нарізування конічних коліс із прямими зубами на зубостругальних верстатах
  7. Нарізування циліндричних коліс із прямими зубами
  8. Оцінка агроекологічного стану ґрунтового покриву за прямими показниками
  9. Синтез чотириланкових механізмів за двома положеннями ланок



 

1. Задано дві прямі (l1) і (l2). Потрібно обчислити кут між ними. Розглянемо два випадки, які відрізняються способом завдання прямих.

а) Прямі задані загальними рівняннями:

(l1): А1х + В1у + С1 = 0;

(l2): А2х + В2у + С2 = 0.

Рис. 3. 13

З цих рівнянь маємо координати нормальних векторів прямих: = (А1;В1) і = (А2;В2), і кут між прямими можна знайти як кут між площинами у п.3.4 (рис. 3.13):

cos (l1ˆl2) = cos |(ˆ)| = = (3.37)

Умовою паралельності прямихє паралельність їх нормальних векторів, тобто пропорціональність координат цих векторів:

((l1)║(l2)) Û () Û . (3.38)

Умовою перпендикулярності прямих є умова ортогональності їх нормальних векторів:

((l1)^(l2)) Û (^) Û (×= 0) Û A1A2 + B1B2 = 0. (3.39)

 

б) Прямі задані канонічними рівняннями:

(l1): ;

(l2): .

З цих рівнянь маємо координати напрямних векторів прямих: = ( m1; n1) і = ( m2; n2), і кут між прямими можна знайти як у п.3.6:

cos (l1ˆl2) = cos |(ˆ)| = = (3.40)

Умовою паралельності прямихє паралельність їх напрямних векторів, тобто пропорціональність координат цих векторів:

((l1)║(l2)) Û () Û . (3.41)

Умовою перпендикулярності прямих є умова ортогональності їх нормальних векторів:

((l1)^(l2)) Û (^) Û (×= 0) Û m1m2 + n1n2 = 0. (3.42)

 

в) Прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом:

Рис. 3. 14

(3.43)

Тоді k1 = tg α1, k2 = tg α2, де α1 і α2 – відповідно кути нахилу прямих (l1) і (l2) до осі Ох (рис. 3.14). Знайдемо тангенс кута між прямими:

tg (l1ˆl2) = tg (α2α1) =

=.

В загальному випадку

tg (l1ˆl2) = . (3.44)

Умова паралельностіочевидна: α1 = α2, звідки tg α1 = tg α2, отже

k1 = k2 . (3.45)

Умову перпендикулярності одержимо, переписавши рівняння (3.43) як загальні і скориставшись умовою (3.39) (де , , ):

k1k2 + 1 =0, звідки . (3.46)

Приклад 1. Знайти точку перетину двох прямих

(l1): 5х – 2у + 16 = 0;

(l2): 3х + у + 3 = 0.

Розв’язання:

Згідно з формулою (3.3) координати точки перетину, як спільної точки прямих (l1) і (l2) двох прямих, повинні задовольняти рівняння обох прямих, отже вони є розв’язком системи рівнянь:

Розв’язуючи цю систему, одержуємо х = –2; у = 3. Отже прямі (l1) і (l2) перетинаються в точці М(-2;3).

Приклад 2. Написати рівняння прямої (l1), яка проходить через точку М0(х0;у0) паралельно до заданої прямої (l).

Розв’язання:

а) Нехай пряму (l) задано загальним рівнянням

(l): 5х – 2у + 16 = 0, М0(2;–3).



З рівняння прямої (l) знаємо її нормальний вектор = (5;–2). Оскільки шукана пряма (l1)║(l) , то її нормальний вектор . Не обмежуючи загальності, можна взяти = = (5;–2). Залишається скористатись рівнянням прямої за точкою і нормальним вектором (3.31):

5(х – 2) – 2(у +3) = 0 або 5х – 2у – 16 = 0.

 

б) Нехай пряму (l) задано рівнянням з кутовим коефіцієнтом:

(l): у = 3х – 2, М0(–2;1).

Задана пряма (l) має кутовий коефіцієнт k = 3. Оскільки шукана пряма (l1)║(l), то її кутовий коефіцієнт k1 = k = 3. скориставшись рівнянням прямої за точкою і кутовим коефіцієнтом (3.36), маємо відповідь

(l1): у – 1 = 3(х + 2), або у = 3х + 7.

Приклад 3. Написати рівняння прямої (l1), яка проходить через точку М0(х0;у0) перпендикулярно до заданої прямої (l).

Розв’язання:

а) Нехай пряму (l) задано загальним рівнянням

(l): 3х + 4у – 11 = 0, М0(2;6).

Нормальний вектор прямої (l) = (3;4). Оскільки шукана пряма (l1)^(l), то її напрямнийвектор . Можемо взяти == (3;4). Тоді рівняння шуканої прямої (l1) запишеться як рівняння прямої за точкою і напрямним вектором (3.32):

(l1): , або 4х – 3у + 10 = 0.

 

б) Пряму (l) задано рівнянням з кутовим коефіцієнтом:

(l): у = –2х + 5, М0(3;–1).

Задана пряма (l) має кутовий коефіцієнт k = –2. Шукана пряма (l1)^(l), тому її кутовий коефіцієнт згідно з умовою перпендикулярності (3.46) дорівнює . Рівняння шуканої прямої (l1) одержимо тепер як рівняння прямої за точкою і кутовим коефіцієнтом (3.36):

(l1): у + 1 = (х – 3), або х – 2у – 5 = 0.

Приклад 4. Знайти кут між прямими (l1) і (l2) .

Розв’язання:

а) Прямі задано загальними рівняннями:

(l1): 2ху + 8 = 0;

(l2): 6х + 2у – 7 = 0.

Нормальні вектори прямих відповідно = (2;–1) і = (6;2). Кут між прямими знаходимо як кут між їх нормальними векторами за формулою (3.37):

cos (l1ˆl2) = = = = .

Отже кут

(l1ˆl2) = arccos= = 45°.

 

б) Прямі задано рівняннями з кутовими коефіцієнтами:

(l1): у = 3x + 5;

(l2): у = –x – 2.

Кутові коефіцієнти прямих відповідно k1 = –3, k2 = –1. За формулою (3.44)

tg (l1ˆl2) = = = = .

Отже кут

(l1ˆl2) = arctg» 26°34¢.





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1566; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.224.214.93
Генерация страницы за: 0.008 сек.