Достаточное условие локального экстремума ФНП

Воспоминание из Линейной Алгебры.

Квадратичная форма двух переменных имеет «канонический вид»
в прямоугольной системе координат , определяемой собственными векторами матрицы квадратичной формы

Пусть в точке а функция имеет непрерывные вторые частные производные è симметричная матрица Гессе.

Пусть x₀=[ x₀,y₀]^t – стационарная точка (f’(x₀)=[0;0]). Из формулы Тейлора следует, что è

n=2è

Обозначим б/м приращения аргументов:

è «Приращение» функции в окрестности стационарной точки определяется квадратичной формой, матрица которой – симметричная матрица Гессе

Из линейной алгебры известно, что квадратичная форма имеет канонический вид

(1)

причем собственные числа матрицы G(x₀) вещественны и являются решениями уравнения

Для n=2 (2)

причем по теореме Виета:

Из (1) и определения локального экстремума функции следует

Утверждение 1.9 (Достаточный признак локального экстремума ФНП)

Дважды непрерывно дифференцируемая в стационарной точке а_СТ функция f достигает в этой точке локального экстремума, если произведение собственных чисел матрицы Гессе положительно (все числа одного знака), причем

- а_СТ=а_min ,

- а_СТ =а_max.

Дата добавления: 2014-01-04