Упрощение уравнения второго порядка от двух переменных

Рассмотрим произвольные уравнения второго порядка от двух переменных

(35.11)

с условием (35.12).

Сделав поворот осей координат на угол α, определяемого формулой (35.10), по теореме 35.1 получим, что в новой системе координат уравнение (35.11) примет вид

(35.13)

с условием (35.14).

Поменяв, в случае необходимости переменные местами, из условия (35.14) можно получить, что C≠0 (35.15)

(ибо если C=0, то тогда из (35.14) следует, что A≠0, и поменяв местами переменные, x и y получим, что коэффициент при y², будет отличен от нуля).

Рассмотрим следующие случаи:

I: AC≠0 (т.е A≠0 при условии (35.15);

II: A=0, D≠0 при этом выполнено условие (35.15)

III: A=D=0

I: AC≠0

Тогда выделим в левой части уравнении (35.13) полный квадрат

(35.16)

Введем новые переменные

(35.17)

Обозначим такие за , уравнение (35.16) приведем к виду или (35.18).

Продолжим исследование:

I.1 F₁=0. Тогда уравнение (35.18) примет вид (35.19).

Рассмотрим далее знаки при x² и y² (попутно мы также вводим новые величины a и b)

I.1 A: ,

Тогда уравнение (35.19) примет вид

(35.20)

Дата добавления: 2014-01-04