Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Уравнение плоскости по точке и нормали





Определение 36.1. Плоскостью будем называть геометрическое место точек, такое что, при некотором ненулевом векторе для всех точек и из данного множества вектор ортогонален заданному вектору.

Определение 36.2. Вектор , заданный в определении 36.1, называется нормалью (или нормальным вектором) к заданной плоскости.

(Определение 36.1 геометрически означает, что если прямая линия, имеющая направляющий вектор , перпендикулярный плоскости , то она ортогональна любой прямой , лежащей в этой плоскости.)

Получим общее уравнение плоскости.

Пусть нормаль . Так как , то

(36.1)

Положим, - некоторая точка плоскости. Тогда для любой точки из плоскости вектор , по определению 36.1, ортогонален вектору , т.е. их скалярное произведение

(36.2)

Выписывая равенство (36.2) покоординатно (из §21 вектор, из равенства (24.9) имеем:

 

(36.3)

Раскрывая скобки в равенстве (36.3) и обозначив за ,

получим:

(36.4)

С условием (36.1)

Мы показали, что координаты всех точек любой плоскости удовлетворяют некоторому линейному уравнению (36.4) с условием (36.1)

Покажем обратное, т.е. если координаты всех точек некоторого множества удовлетворяют линейном уравнению (36.4) с условием (36.1) то это множество является плоскостью.

Отметим, что данное множество π≠Ø, ибо если (см.(36.1)) то точка с координатами удовлетворяет уравнению (36.4)

Тогда пусть и - произвольные точки множества , т.е. их координаты удовлетворяют (36.4) и следующему уравнению (для точки )

(36.5)

Вычитая из уравнения (36.4) равенство (36.5), получим формулу (36.3), что означает, что вектора и ( из условия (36.1)), следует,что вектор ) удовлетворяет равенству (36.2), т.е они ортогональны. Поэтому выполняются все условия определения 36.1, т.е. множество , координаты всех точек которого удовлетворяют некоторому линейному уравнению (36.4) с условием (36.1), является плоскостью.

Определение 36.4. Поэтому уравнение (36.4) с условием (36.1) называется общим уравнением плоскости.





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 369; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.