Уравнение плоскости по точке и нормали

Определение 36.1. Плоскостью будем называть геометрическое место точек, такое что, при некотором ненулевом векторе для всех точек и из данного множества вектор ортогонален заданному вектору.

Определение 36.2. Вектор , заданный в определении 36.1, называется нормалью (или нормальным вектором) к заданной плоскости.

(Определение 36.1 геометрически означает, что если прямая линия, имеющая направляющий вектор , перпендикулярный плоскости , то она ортогональна любой прямой , лежащей в этой плоскости.)

Получим общее уравнение плоскости.

Пусть нормаль . Так как , то

(36.1)

Положим, - некоторая точка плоскости. Тогда для любой точки из плоскости вектор , по определению 36.1, ортогонален вектору , т.е. их скалярное произведение

(36.2)

Выписывая равенство (36.2) покоординатно (из §21 вектор, из равенства (24.9) имеем:

(36.3)

Раскрывая скобки в равенстве (36.3) и обозначив за ,

получим:

(36.4)

С условием (36.1)

Мы показали, что координаты всех точек любой плоскости удовлетворяют некоторому линейному уравнению (36.4) с условием (36.1)

Покажем обратное, т.е. если координаты всех точек некоторого множества удовлетворяют линейном уравнению (36.4) с условием (36.1) то это множество является плоскостью.

Отметим, что данное множество π≠Ø, ибо если (см.(36.1)) то точка с координатами удовлетворяет уравнению (36.4)

Тогда пусть и - произвольные точки множества , т.е. их координаты удовлетворяют (36.4) и следующему уравнению (для точки )

(36.5)

Вычитая из уравнения (36.4) равенство (36.5), получим формулу (36.3), что означает, что вектора и ( из условия (36.1)), следует,что вектор ) удовлетворяет равенству (36.2), т.е они ортогональны. Поэтому выполняются все условия определения 36.1, т.е. множество , координаты всех точек которого удовлетворяют некоторому линейному уравнению (36.4) с условием (36.1), является плоскостью.

Определение 36.4. Поэтому уравнение (36.4) с условием (36.1) называется общим уравнением плоскости.