Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Распадающиеся и вырожденные поверхности второго порядка





Осталось рассмотреть множества, заданные уравнениями (35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) и (35.20)

Определение 47.16.Поверхность второго порядка называется распадающейся, если она состоит из двух поверхностей первого порядка.

В качестве примера рассмотрим поверхность, заданную уравнением

(35.21)

Левую часть равенства (35.21) можно разложить на множители

(47.36)

Таким образом, точка лежит на поверхности, заданной уравнением (35.21) тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют одному из следующих уравнений или . А это – уравнения двух плоскостей, которые согласно параграфу 36 (см.п.36.2, 10-ая строка таблицы), проходят через ось аппликат OZ. Следовательно, уравнение (35.21) задаёт распадающуюся поверхность, а точнее – две пересекающихся плоскости.

Задача: Доказать, что если поверхность одновременно является и цилиндрической, и конической, а также состоит более, чем из одной прямой линии, то она распадается, т.е. содержит в себе некоторую плоскость.

Рассмотрим теперь уравнение (35.30)

Его можно разложить на два линейных уравнения и . Таким образом, если точка лежит на поверхности, заданную уравнением (35.30), то её координаты должны удовлетворять одному из следующих уравнений: и . А это, согласно параграфу 36 (см. п.36.2 6-я строка таблицы), является уравнением плоскостей, параллельных плоскости . Таким образом, уравнение (35.30) задаёт две параллельные плоскости и тоже является распадающейся поверхностью.

Отметим, что всякую пару плоскостей и можно задать следующим уравнением второго порядка . Уравнения же (35.21) и (35.30) – это канонические уравнения двух плоскостей, то есть их уравнения в специально подобранной системе координат, где они (эти уравнения) имеют наиболее простой вид.

Уравнение же (35.31)

вообще эквивалентно одному линейному уравнению у = 0 и представляет собой одну плоскость (согласно параграфу 36 п.36.2, 12-ая строка таблица, это уравнение задаёт плоскость ).

Отметим, что всякая плоскость можно задать и следующим уравнением второго порядка .

По аналогии с уравнением (35.30) (при ) иногда говорят, что равенство (35.20) задаёт две слившиеся параллельные плоскости.

Переходим теперь к вырожденным случаям.

1.Уравнение (35.20)

Заметим, что точка M(x, y, z) принадлежит множеству, заданному уравнением (35.20), тогда и только тогда, когда её первые две координаты х=у=0 (а её третья координаты z может быть какой угодно). А это означает, что уравнение (35.20) задаёт одну прямую линию – ось аппликат OZ.

Отметим, что уравнение всякое прямой линии (см. параграф 40, п.40.1, а также параграф 37, система (37.3)) можно задать следующим уравнением второго порядка . Равенство же (35.20) является каноническим уравнением второго порядка для прямой линии, т.е. её уравнением второго порядка в специально подобранной системе координат, где оно (это уравнение) имеет наиболее простой.



2. Уравнение (47.7)

Уравнению (47.7) может удовлетворять лишь одна тройка чисел x=y=z=0. Таким образом, равенство (47.7) в пространстве задаёт лишь одну точку О (0; 0; 0) – начало координат; координаты никакой другой точки пространства равенству (47.7) удовлетворять не могут. Отметим также, что множество, состоящие из одной точки можно задать следующим уравнением второго порядка:

3. Уравнение (35.23)

А этому уравнению вообще не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, т.е. оно определяет пустое множество. По аналогии с уравнением (33.4)

(см. п. 47.5, определением 47.8), его ещё называют мнимым эллиптическим цилиндром.

4.Уравнение (35.32)

Этому уравнению также не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, поэтому и оно определяет пустое множество. По аналогии со сходным уравнением (35.30), эту «поверхность» ещё называют мнимыми параллельными плоскостями.

5. Уравнение (47.22)

И этому уравнению не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, и, следовательно, и оно определяет пустое множество. По аналогии с равенством с равенством (47.17) (см. п. 47.2), это множество ещё называют мнимым эллипсоидом.

Все случаи рассмотрены.

 

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1441; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:

  1. А обе части второго уравнения умножим на коэффициент при из первого уравнения, т.е. 1.
  2. Административные правонарушения против порядка управления (гл.19)
  3. Виды покрытий поверхности на территории города.
  4. Влияние диэлектрических свойств материала поверхности
  5. Влияние качества поверхности на эксплуатационные свойства деталей машин.
  6. Влияние качества поверхности на эксплуатационные свойства изделия
  7. Влияние режимов резания на шероховатость поверхности
  8. Влияние технологических факторов на шероховатость поверхности
  9. Вопрос 16. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  10. Вопрос №32. Движение частицы по поверхности лопасти ротора.
  11. Вопрос. Факторы культурного, социального, личного и психологического порядка.
  12. Выразим и через свободные неизвестные и , которые могут принимать произвольные значения. Из второго уравнения

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.