КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Распадающиеся и вырожденные поверхности второго порядка
Осталось рассмотреть множества, заданные уравнениями (35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) и (35.20) Определение 47.16. Поверхность второго порядка называется распадающейся, если она состоит из двух поверхностей первого порядка. В качестве примера рассмотрим поверхность, заданную уравнением (35.21) Левую часть равенства (35.21) можно разложить на множители (47.36) Таким образом, точка лежит на поверхности, заданной уравнением (35.21) тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют одному из следующих уравнений или . А это – уравнения двух плоскостей, которые согласно параграфу 36 (см.п.36.2, 10-ая строка таблицы), проходят через ось аппликат OZ. Следовательно, уравнение (35.21) задаёт распадающуюся поверхность, а точнее – две пересекающихся плоскости. Задача: Доказать, что если поверхность одновременно является и цилиндрической, и конической, а также состоит более, чем из одной прямой линии, то она распадается, т.е. содержит в себе некоторую плоскость. Рассмотрим теперь уравнение (35.30) Его можно разложить на два линейных уравнения и . Таким образом, если точка лежит на поверхности, заданную уравнением (35.30), то её координаты должны удовлетворять одному из следующих уравнений: и . А это, согласно параграфу 36 (см. п.36.2 6-я строка таблицы), является уравнением плоскостей, параллельных плоскости . Таким образом, уравнение (35.30) задаёт две параллельные плоскости и тоже является распадающейся поверхностью. Отметим, что всякую пару плоскостей и можно задать следующим уравнением второго порядка . Уравнения же (35.21) и (35.30) – это канонические уравнения двух плоскостей, то есть их уравнения в специально подобранной системе координат, где они (эти уравнения) имеют наиболее простой вид.
Уравнение же (35.31) вообще эквивалентно одному линейному уравнению у = 0 и представляет собой одну плоскость (согласно параграфу 36 п.36.2, 12-ая строка таблица, это уравнение задаёт плоскость ). Отметим, что всякая плоскость можно задать и следующим уравнением второго порядка . По аналогии с уравнением (35.30) (при ) иногда говорят, что равенство (35.20) задаёт две слившиеся параллельные плоскости. Переходим теперь к вырожденным случаям. 1.Уравнение (35.20) Заметим, что точка M(x, y, z) принадлежит множеству, заданному уравнением (35.20), тогда и только тогда, когда её первые две координаты х=у=0 (а её третья координаты z может быть какой угодно). А это означает, что уравнение (35.20) задаёт одну прямую линию – ось аппликат OZ. Отметим, что уравнение всякое прямой линии (см. параграф 40, п.40.1, а также параграф 37, система (37.3)) можно задать следующим уравнением второго порядка . Равенство же (35.20) является каноническим уравнением второго порядка для прямой линии, т.е. её уравнением второго порядка в специально подобранной системе координат, где оно (это уравнение) имеет наиболее простой. 2. Уравнение (47.7) Уравнению (47.7) может удовлетворять лишь одна тройка чисел x=y=z=0. Таким образом, равенство (47.7) в пространстве задаёт лишь одну точку О (0; 0; 0) – начало координат; координаты никакой другой точки пространства равенству (47.7) удовлетворять не могут. Отметим также, что множество, состоящие из одной точки можно задать следующим уравнением второго порядка: 3. Уравнение (35.23) А этому уравнению вообще не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, т.е. оно определяет пустое множество. По аналогии с уравнением (33.4) (см. п. 47.5, определением 47.8), его ещё называют мнимым эллиптическим цилиндром. 4. Уравнение (35.32) Этому уравнению также не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, поэтому и оно определяет пустое множество. По аналогии со сходным уравнением (35.30), эту «поверхность» ещё называют мнимыми параллельными плоскостями.
5. Уравнение (47.22) И этому уравнению не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, и, следовательно, и оно определяет пустое множество. По аналогии с равенством с равенством (47.17) (см. п. 47.2), это множество ещё называют мнимым эллипсоидом. Все случаи рассмотрены.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 2194; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |