Внутрішня точка множини.Відкрита множина у просторі

Векторний простір. Поняття метрики. Властивості метрики

План

Свойства замкнутых множеств в пространстве

Предельная точка множества. Замкнутые множества в пространстве

Определение 7. Пусть множество. Точка называется предельной для множества, если любой открытый шар с центром в этой точке содержит точки множества, которые отличаются от точки.

Определение8. Открытый шар с центром в точке называется окрестностью точки.

Замечание. Если точка является предельной для множества, то любая окрестность этой точки содержит бесконечно много точек из множества.

Замечание. Если точка является внутренней для множества, то она будет и предельной точкой этого множества.

Определение9. Множество называется замкнутым, если оно включает в себя все свои предельные точки.

Пример. Множество является замкнутым.

Пример. Пустое множество и - замкнутые множества.

Определение10. Пусть множество. Дополнение к множеству называется совокупность точек и одновременно не принадлежат множеству.

Теорема 3. Множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение будет замкнутым.

Теорема 4. Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство. Самостоятельно.

Теорема 5. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство. Самостоятельно.

Замечание. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может и не быть замкнутым множеством.

Пример. Рассмотрим бесконечную совокупность замкнутых множеств Для них - открытое множество.

1. Векторний простір. Поняття метрики. Властивості метрики
2. Внутрішня точка множини.Відкрита множина у просторі
3. Властивості відкритих множин
4. Гранична точка множини. Замкнені множини у просторі
5. Властивості замкнених множин у просторі

Нехай. Елементи простору - це вектори, де. В просторі введени дві операції: додавання векторів та множення вектора на скаляр, властивості яких розглядаються в курсі алгебри та геометрії.

Визначемо норму вектора як функцію:

.

Функція норми вектора задовольняє властивостям:

1. і тоді і тільки тоді, коли;

2.;

3..

Визначення 1. Відстанню в просторі між векторами називається

.

Властивості відстані:

1. і тоді і тільки тоді, коли;

2..

Визначення 2. Нехай. Відкритою кулею радіуса з центром в точці (позначається) називається множина точок таких, що

.

Приклад. - це інтервал (рис.1).

Рис.1.

Приклад. (рис.2).

Визначення 3. Нехай. Замкненою кулею радіуса з центром в точці (позначається) називається множина точок таких, що

.

Визначення 4. Точка називається внутрішньою точкою цієї множини, якщо існує така відкрита куля, яка повністю знаходиться у множині.

Визначення 5. Множина називається відкритою множиною, якщо кожна її точка є внутрішньою точкою.

Приклад. Порожня множина і множина - відкриті множини.

Приклад. Довести, що - відкрита множина (рис.3).

Рис.3.

Візьмемо. Це означає, що. Позначимо. Розглянемо відкриту кулю. Доведемо, що. Для цього покажемо, що одночасно належить:

.

Таким чином,, а це означає, що.

Визначення 6. Відкритим паралелепіпедом в називається множина точок і задовольняють нерівностям:

,

,

...

,

де.

Завдання. Показати, що відкритий паралелепіпед є відкритою множиною.

Дата добавления: 2014-01-04