Определение непрерывной функции многих переменных. Понятие изолированной точки

План

Лекция 22. Непрерывность функции многих переменных

Питання

Границя функції і арифметичні операції над функціями

Визначення границі функції багатьох змінних

Нехай визначена функція

.

Визначення 1. Точка називається границею функції на множині, коли прямує до, де - гранична точка множини, якщо

для, що для такого, що виконується

.

Визначення 2 (границі функції багатьох змінних у термінах послідовностей). Точка називається границею функції у точці, яка є граничною для множини, по множині, якщо для будь-якої послідовності, такої, що, відповідна послідовність значень функції збігається до.

Рис.1.

Позначається це наступним чином:

.

Теорема 1. Нехай,, точка - гранична точка множин,. Нехай

,, і,

тоді не існує.

Приклад. Нехай, тобто. Доведемо, що не існує.

Нехай

,

.

Тоді

,

.

Оскільки, то не існує.

Зауваження. Існування рівних границь функції, по усім прямим, які проходять через точку, ще не гарантує існування.

Приклад. Нехай, тобто. Доведемо, що не існує.

Нехай

.

Тоді

,

Тобто по усім прямим, які проходять через точку (0,0), границя функції існує і дорівнює 0.

Визначемо ще одну підмножину області визначення функції:

.

Для неї

,

тому не існує.

Теорема 2. Нехай функції мають наступний вигляд:

.

Нехай - гранична точка множини. Нехай,. Тоді існують границі функцій,, де, по множині, до того ж:

,

.

1. Що називається областю визначення функції, областю значень функції?

2. Яку множину називають образом множини при відображенні?

3. Яка множина називається прообразом множини при відображенні?

4. Визначення функції багатьох змінних.

5. Визначення дійсної функції багатьох змінних.

6. Визначення границі функції багатьох змінних за Коші, за Гєйне.

7. Границя функції та арифметичні операції.

1. Определение непрерывной функции многих переменных. Понятие изолированной точки
2. Непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций многих переменных
3. Сложная функция и ее непрерывность
4. Непрерывные функции на компактах
5. Равномерная непрерывность функции многих переменных

Определение 1. Пусть

,

а точка. Говорят, что функция непрерывна в точке, если

для, что для такого, что выполняется

.

Из определения 1 вытекает, что для точки, в которой функция является непрерывной, возможны два варианта:

1. Пусть - предельная точка множества. Тогда функция будет непрерывной в точке, если.

2. Пусть не является предельной точкой множества. Такая точка множества называется его изолированной точкой. Поскольку не является предельной, то, который не содержит других точек множества, кроме:. Тогда для, который удовлетворяет условию:, будет выполняться неравенство: для, поскольку, который удовлетворяет условию:, только один -. Таким образом, если множество имеет изолированные точки, то непрерывна в каждой из них.

Пусть. Такая функция определяет действительных функций:.

Теорема 1. Для того, чтобы функция,, была непрерывна в точке необходимо и достаточно, чтобы каждая из действительных функций, была непрерывна в точке.

Дата добавления: 2014-01-04