Складна функція і її неперервність

Неперервність суми, добутку, частки неперервних функцій багатьох змінних

Визначення неперервної функції багатьох змінних. Поняття ізольованої точки

План

Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних

Вопросы

1. Определение непрерывной функции многих переменных.

2. Понятие изолированной точки множества.

3. Какой будет для функции, определенной на множестве, изолированная точка множества? Ответ объяснить.

4. Как связана непрерывность функции, с непрерывностью действительных функций, которые она порождает?

5. Пусть функции непрерывны в точке. Что можно сказать о непрерывности функций,,?

6. Определение сложной функции многих переменных.

7. Теорема о непрерывности сложной функции многих переменных.

8. Когда функция называется непрерывной на множестве?

9. Когда функция называется ограниченной на множестве?

10. Теорема Вейерштрасса.

11. Какая функция, называется равномерно непрерывной на множестве?

12. Теорема Кантора.

1. Визначення неперервної функції багатьох змінних. Поняття ізольованої точки
2. Неперервність суми, добутку, частки неперервних функцій багатьох змінних
3. Складна функція і її неперервність
4. Неперервні функції на компактах
5. Рівномірна неперервність функції багатьох змінних

Визначення 1. Нехай

,

а точка. Кажуть що функція неперервна в точці, якщо

для, що для такого, що виконується

.

З визначення 1 витікає, що для точки, в якій функція є неперервною, можливі два варіанти:

1. Нехай - гранична точка множини. Тоді функція буде неперервною в точці, якщо.

2. Нехай не є граничною точкою множини. Така точка множини називається її ізольованою точкою. Оскільки не є граничною, то, яка не містить інших точок множини, крім:. Тоді для, яке задовольняє умові:, буде виконуватися нерівність: для, оскільки, яке задовольняє умові:, тільки одне -. Таким чином, якщо множина має ізольовані точки, то неперервна в кожній з них.

Нехай. Така функція визначає дійсних функцій:.

Теорема 1. Для того, щоб функція,, була неперервна в точці необхідно і достатньо, щоб кожна з дійсних функцій, була неперервною в точці.

Теорема 2. Нехай визначені функції. Якщо неперервні в точці, то

· - неперервні в точці;

· Якщо - дійсні функції, то неперервна в точці;

· Якщо - дійсні функції і то неперервна в точці.

Нехай

,

і. Тоді на множині визначена функція, яка називається складною функцією:

. (10)

Теорема 3 (про неперервність складної функції). Нехай на множині визначена складна функція (10). Якщо функція неперервна в точці, а функція неперервна в відповідній точці, то складна функція неперервна в точці.

Визначення 2. Нехай. Кажуть, що функція неперервна на множині, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Приклад. Розглянемо сукупність функцій:

.

Ці функції неперервні в. Дійсно, розглянемо

.

Задамо довільно, нехай. Тоді для такого, що, буде виконуватися:, тобто функції,, неперервні в, тобто неперервні в просторі.

Приклад. Розглянемо сукупність функцій:

,

тобто.

Доведемо, що функції,, неперервні в будь-якій точці простору. Функції є складними функціями:. Зовнішня функція одної змінної неперервна в, функції,, неперервні на, тоді за попередньою теоремою складні функції,, неперервні в просторі.

Дата добавления: 2014-01-04