Определение функции многих переменных. Вещественная функция

План

Лекция 21. Предел функции многих переменных

Властивості замкнених множин у просторі

Гранична точка множини. Замкнені множини у просторі

Властивості відкритих множин

Теорема 1. Переріз будь-якого скінченного числа відкритих множин є відкритою множиною.

Доказ. Нехай - відкриті множини,. Покажемо, що - відкрита множина. Для цього візьмемо і покажемо, що ця точка є внутрішньою для:

.

Оскільки кожна множина відкрита, то для знайдеться відкрита куля. Позначимо. Тоді

Таким чином, є для цієї множини внутрішньою, а сама множина - відкритою.

Зауваження. Переріз нескінченного числа відкритих множин може і не бути відкритою множиною.

Приклад. Розглянемо нескінченну сукупність відкритих множин Для них. Множина, яка містить одну точку, не є відкритою.

Теорема 2. Обєднання будь-якого числа відкритих множин є відкритою множиною.

Доказ. Нехай - деяка множина індексів. Нехай для множина є відкритою. Розглянемо. Покажемо, що - відкрита. Для цього візьмемо і покажемо, що ця точка є внутрішньою для:

, що.

Оскільки - відкрита множина, то, тоді, а це означає, що - відкрита множина.

Визначення 7. Нехай множина. Точка називається граничною для множини, якщо будь-яка відкрита куля з центром в цій точці містить точки множини, які відрізняються від точки.

Визначення8. Відкрита куля з центром в точці називається околом точки.

Зауваження. Якщо точка є граничною для множини, то будь-який окіл цієї точки містить нескінченно багато точок з множини.

Зауваження. Якщо точка є внутрішньою для множини, то вона буде і граничною точкою цієї множини.

Визначення9. Множина називається замкненою, якщо вона містить в собі всі свої граничні точки.

Приклад. Множина є замкненою.

Приклад. Порожня множина і - замкнені множини.

Визначення10. Нехай множина. Доповнення до множини називається сукупність точок і одночасно не належать множині.

Теорема 3. Множина відкрита тоді і тільки тоді, коли її доповнення буде замкненим.

Теорема 4. Переріз будь-якого числа замкнених множин є замкненою множиною.

Доказ. Самостійно.

Теорема 5. Обєднання будь-якого скінченного числа замкнених множин є замкненою множиною.

Доказ. Самостійно.

Зауваження. Обєднання нескінченного числа замкнених множин може і не бути замкненою множиною.

Приклад. Розглянемо нескінченну сукупність замкнених множин Для них - відкрита множина.

1. Определение функции многих переменных. Вещественная функция
2. Определение предела функции многих переменных
3. Предел функции и арифметические операции над функциями

Пусть даны два множества:. Пусть есть закон, который ставит в соответствие некоторый. В этом случае говорят, что на определена функция, которая действует в, и обозначают

.

Тут - область определения функции, а ее область значений находится во множестве. Множество называют образом множества при отображении и обозначают.

Пусть дано множество. Тогда множество всех таких, что называется прообразом множества при отображении.

Рассмотрим функции, которые определены на некоторых множествах пространства со значениями в пространстве:

. (10)

Если

, (15)

то такая функция называется вещественной, или действительной.

Рассмотрим функцию вида (10). Если, то имеет вид:. В соответствии с (10) можно представить как, где, - вещественные функции. Таким образом, каждая функция (10) порождает вещественных функций.

Пример. Определим совокупность функций, что действуют для любого аргумента следующим образом:. Областью определения функций является все пространство, область значений -.

Пример. Найти область определения для функции. Поскольку функция определена для аргументов, значения которых находятся на сегменте, то

.

Таким образом, геометрически область определения функции - это такое множество точек, которое представлено на рис.1.

Дата добавления: 2014-01-04