Равномерная непрерывность функции многих переменных

Непрерывные функции на компактах

Сложная функция и ее непрерывность

Непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций многих переменных

Теорема 2. Пусть определены функции. Если непрерывны в точке, то

· - непрерывны в точке;

· Если - действительные функции, то непрерывна в точке;

· Если - действительные функции и то непрерывна в точке.

Пусть

,

и. Тогда на множестве определена функция, которая называется сложной функцией:

. (10)

Теорема 3 (о непрерывности сложной функции). Пусть на множестве определена сложная функция (10). Если функция непрерывна в точке, а функция непрерывна в соответствующей точке, то сложная функция непрерывна в точке.

Определение 2. Пусть. Говорят, что функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример. Рассмотрим совокупность функций:

.

Эти функции непрерывны в. Действительно, рассмотрим

.

Зададим произвольно, пусть. Тогда для такого, что, будет выполняться:, т.е. функции,, непрерывны в, т.е. непрерывны в пространстве.

Пример. Рассмотрим совокупность функций:

,

Т.е..

Докажем, что функции,, непрерывны в любой точке пространства. Функции являются сложными функциями:. Внешняя функция одной переменной непрерывна в, функции,, непрерывны на, тогда по предыдущей теореме сложные функции,, непрерывны в пространстве.

Определение 3. Функция называется ограниченной на множестве, если, что для.

Теорема 4 (Вейерштрасса). Пусть, непрерывна на, - компакт, тогда ограничена на множестве.

Доказательство. Допустим, что непрерывна на, - компакт, но неограничена на множестве. Тогда для такой, что

. (20)

Таким образом можно построить векторную последовательность, для.

Множество - компакт, поэтому - ограниченное множество, а потому построенная последовательность тоже ограничена. По лемме Больцано-Вейерштрасса из каждой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Для элементов этой подпоследовательности выполняется условие (20), т.е.

. (30)

Обозначим:.

Поскольку - компакт, то - замкнутое множество, т.е. содержит все свои предельные точки, поэтому. Функция непрерывна на, потому непрерывна в точке, а это означает, что

.

Но из (30) вытекает, что.

Получили противоречие, поэтому наше предположение о неограниченности функции является ложным.

Пусть функция и непрерывна в. По определению это означает, что

для, что для такого, что выполняется

.

На практике будет зависеть не только от, а и от, т.е.. Возникает вопрос: можно ли для заданного всегда найти такое, которое бы зависело только от и подходило бы для?

Определение 4. Функция, называется равномерно непрерывной на множестве, если

для, что для таких, что выполняется

.

Любая равномерно непрерывная на функция непрерывна в каждой точке этого множества. Наоборот вообще не верно.

Теорема 5 (Кантора). Пусть, непрерывна на, - компакт, тогда равномерно непрерывна на множестве.

Дата добавления: 2014-01-04