Дифференцирование неявных функций

1) f(x,y)=0, ,

2) F(x,y,z)=0, , ,

9.3 Дифференциал функции.

Определение. Выражение Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением функции z=f(x, y).

Определение. Если функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у, то её полное приращение в точке (х, у), имеет вид:

,

где a₁ и a₂ – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно. При этом функция называется дифференцируемой в этой точке.

Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная часть приращения функции Dz в точке (х, у), то есть

Так как приращение аргумента равно дифференциалу аргумента, справедливо следующее соотношение:

Для функции произвольного числа переменных:

Приближённые вычисления с помощью дифференциалов.

Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Полное приращение функции в этой точке: или .

Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

Дата добавления: 2013-12-13