Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Точка x ₀ называется точкой минимумафункции f (x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

f (x) > f (x ₀).

Точка x₀ называется точкой максимума функции f (x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

f (x) < f (x ₀).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Сформулируем теорему о необходимом условии экстремума функции: если в точке экстремума функция f(x) имеет производную, то производная равна нулю.

Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать среди тех точек её области определения, где производная функции равна нулю или не существует.

Если f¢ (x ₀) = 0, это еще не значит, что в точке x ₀ есть экстремум. Примером может служить функция y = x ³. В точке x =0 её производная равна нулю, но экстремума функция не имеет. График функции изображен на рисунке 3.

Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной.

Точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими.

Как было показано выше, с помощью необходимого условия нельзя определить, является ли данная точка точкой экстремума, тем более указать, какой экстремум реализуется – максимум или минимум. Для того, чтобы ответить на эти вопросы, сформулируем и докажем теорему, которая называется достаточным условием экстремума.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке x ₀. Тогда:

1) если f¢ (x) < 0 на (a; x ₀) и f¢ (x) > 0 на (x ₀; b), то точка x ₀ – точка минимума функцииf (x);

2) если f¢ (x) > 0 на (a; x ₀) и f¢ (x) < 0 на (x ₀; b), то точка x ₀ – точка максимума функции f (x);

Докажем первое утверждение теоремы.

Так как f¢ (x) < 0 на (a; x ₀) и f (x) непрерывна в точке x ₀, то f (x) убывает на (a; x ₀], и для любого x Î(a; x ₀) выполняется условие f (x)> f (x ₀).

Так как f¢ (x) > 0 на (x ₀; b) и f (x) непрерывна в точке x ₀, то f (x) возрастает на (x ₀; b ], и для любого x Î(x ₀; b) выполняется условие f (x)> f (x ₀).

В результате получается, что при любом x ¹ x ₀ из (a; b) выполняется нера­венство f (x)> f (x ₀), то есть точка x ₀ – точка минимума f (x).

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Дата добавления: 2013-12-13