Экстремум функции двух переменных

Точка M₀(x₀,y₀) является точкой максимума (минимума) функции z = f (x,y), если найдется такая окрестность точки M ₀, что для всех точек M (x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f (x,y)< f (x ₀ ,y ₀) (f (x,y)> f (x ₀ ,y ₀)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции, т.е. функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области, надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть. Здесь полная аналогия с функцией одной переменной.

Пример:

z(x,y) = xy; z_x ¢ = y; z_y ¢ = x; z_x ¢(0,0) = 0; z_y ¢(0,0) = 0.

Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z (x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z (x,y) < 0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума. Ниже приводится его формулировка.

Пусть z_x ¢(x ₀ ,y ₀) = 0 иz_y ¢(x ₀ ,y ₀) = 0, а вторые частные производные функции zнепрерывны в некоторой окрестности точки (x ₀ ,y ₀). Введем обозначения: A = z_xx ¢¢(x ₀ ,y ₀); B = z_xy ¢¢(x ₀ ,y ₀); C = z_yy ¢¢(x ₀ ,y ₀); D = AC - B ².

Тогда, если D < 0, то в точке (x₀,y₀) экстремума нет.

Если D > 0, то в точке (x₀,y₀) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.

Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему: сначала выписываются необходимые условия экстремума:

z_x ¢(x,y) = 0;

z_y ¢(x,y) = 0,

которые рассматриваются как система уравнений. Ее решением является некоторое множество точек. В каждой из этих точек вычисляются значения D и проверяется выполнение достаточных условий экстремума.

Дата добавления: 2013-12-13