Пример. Вычислить определитель третьего порядка

Вычислить определитель третьего порядка .

Решение.

.

Пусть дана квадратная матрица А n -го порядка.

Минором элемента матрицы n -го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i- строки и j- столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка (1). Минором элемента матрицы третьего порядка является определитель второго порядка:

Минором элемента матрицы третьего порядка является определитель второго порядка:

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n -го порядка называется минор этого элемента, умноженный на , где - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент. Так алгебраическое дополнение элемента обозначается , алгебраическое дополнение элемента обозначается .

Пример. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

Решение.

;;

; ;

;;

;;

.

Важное значение для вычисления определителей имеет следующая теорема.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения:

- разложение по элементам i -ой строки, i=1, 2,…,n.

- разложение по элементам j -ого столбца, j=1, 2,…,n.

Доказательство.

Убедимся в справедливости теоремы на примере определителя третьего порядка. Разложим его по элементам первой строки:

- полученное выражение совпадает с определением определителя третьего порядка. Аналогичный результат получаем при разложении определителя матрицы по любой строке или столбцу.

Дата добавления: 2014-01-05