Общий вид и свойства системы уравнений

Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений – один из основных разделов алгебры. Нет такой отрасли науки или приложений, где в том или ином виде не использовались бы эти системы. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.

Система линейных уравнений с неизвестными (переменными) имеет вид:

(3)

где - произвольные числа (,), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами системы уравнений (3). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру неизвестного .

Решением системы уравнений (3) называется набор чисел , при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (3) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Если система не имеет решений – она называется несовместной.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение.

Совместная система уравнений называется неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Например, система уравнений ; ; - совместная и определенная;

система уравнений ; первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, получаем: - система совместная и неопределенная, так как имеет бесконечное множество решений , где - любое число.

Две системы уравнений вида (3) называются эквивалентными или равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относятся:

1. Вычеркивание уравнения - нулевой строки.

2. Перестановка уравнений или слагаемых в уравнениях.

3. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число.

4. Удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.

Дата добавления: 2014-01-05