Кинематика вихревого движения

Вихревое движение широко распространено, поэтому изучение его закономерностей представляет несомненный практический интерес. Вращательное движение жидких частиц, как показано ранее, характеризуется вихрем скорости

(2.1)

Это означает, что в каждой точке пространства вращение жидких частиц может быть охарактеризовано этим вектором. Его модуль может быть записан как:

(2.2)

Движение, при котором величина вихря скорости не равна нулю, т.е. , называют вихревым. Если же , то движение безвихревое (потенциальное).

Кинематические понятия для вихревого движения можно получить по аналогии с общими представлениями кинематики. В основу кинематики вихревого движения положено определение вихревой линии, которое аналогично понятию линии тока. Вихревой называется линия, в каждой точке которой в данный момент времени касательная совпадает с направлением вектора вихря скорости. Другими словами, вихревая линия ­ это мгновенная ось вращения частиц жидкости, которые в данный момент времени расположены на ней. По аналогии с дифференциальным уравнением линии тока можно записать:

(2.3)

Вихревая трубка ­ аналог трубки (поверхности) тока, т.е. это поверхность, образованная вихревыми линиями, проведенными через все точки бесконечно малого замкнутого контура. Вихревая нить ­ аналог струйки тока и представляет собой жидкий объем, заключенный в вихревой трубке. Если вихревая трубка имеет конечные размеры, то частицы, заполняющие ее и находящиеся во вращательном движении, образуют вихревой шнур.

Интенсивность вихря.

Понятие интенсивности вихря достаточно абстрактно и вводится чисто математически. Напомним, что потоком векторного поля называют интеграл вида

(2.4)

Поскольку вихрь скорости (ротор) есть вектор, то вместо можно подставить , что и приводит нас к понятию интенсивности вихря, т.е. интенсивность вихря ­ это поток вектора вихря скорости (2.5)

Эту формулу можно переписать, используя очевидное соотношение , как:

(2.6)

Имея в виду, что , можем записать

(2.7)

Используя формулу Гаусса-Остроградского и переходя от интеграла по поверхности к интегралу по объему, получим:

.

Заметим, что полученное подинтегральное выражение по структуре напоминает обычное уравнение неразрывности для стационарного течения жидкости с постоянной плотностью. Раскроем это выражение, имея в виду, что проекции вектора вихря (по правилам векторного произведения) представляются, как:

;

;

.

Получим:

.

Следовательно, можно записать: (2.8)

Применим (2.8) к вихревому шнуру (см. рисунок). На боковой поверхности , так как вектор направлен по касательной к поверхности. Поэтому можем записать

;

.

Если допустить, что в пределах сечения , то

(2.9)

Либо в общем случае

(2.10)

т.е. это своеобразное «уравнение неразрывности» в интегральной форме для завихренности. Полученный результат носит название теоремы Гельмгольца о вихрях (второй теоремы Гельмгольца), которую можно сформулировать следующим образом: интенсивность вихревого шнура на всей его протяженности остается постоянной. Из выражения (2.10) следует и другой весьма важный вывод. Поскольку произведение остается неизменным, то уменьшение площади сечения шнура должно приводить к увеличению угловой скорости вращения частиц. При это условие означает, что , что физически невозможно. Следовательно, вихрь не может зарождаться либо оканчиваться в толще жидкости. Окончательно развившись, он должен замкнуться либо на твердую поверхность, либо сам на себя, т.е. образовать вихревое кольцо. В этом свойстве также существует аналогия с поведением трубки тока.

Понятие об интенсивности вихря является весьма важным, но, к сожалению, непосредственное определение этой величины экспериментальным путем связано с непреодолимыми трудностями. Кроме того, если пытаться распространить это понятие на вихри конечных размеров, то по аналогии со средней скоростью пришлось бы вводить понятие о средней угловой скорости, что связано с определенными трудностями чисто математического характера. Поэтому гидромеханики избрали другой путь, заменив это понятие другим, более удобным для целей практики.

Циркуляция скорости.

Для введения понятия о циркуляции скорости воспользуемся методикой, предложенной Н.Я.Фабрикантом. Несомненным ее преимуществом является то, что она позволяет ввести понятие циркуляции не формально математически, а исходя из достаточно простых и ясных физических предпосылок.

Рассмотрим крыловой профиль, находящийся в равномерном потоке воздуха. Как известно, на профиль в этом случае будет действовать подъемная сила (см. рисунок). Физически наличие этой силы можно объяснить лишь тем, что давление под профилем больше, а давление над профилем меньше, чем давление на некотором удалении от него (давление невозмущенного потока), которое мы обозначим . Это позволяет утверждать, что под крыловым профилем скорость , а над ним . В данном случае - скорость невозмущенного потока.

Вычтем теперь из скоростей и скорость , т.е. получим разности и . Это действие приводит нас к понятию возмущенного потока, т.е. движения, которое возникает в среде из-за того, что в нее внесено инородное тело. По существу, это реакция потока, обусловленная в данном случае тем, что в ней появился крыловой профиль. Установим теперь направление потоков возмущения. Под профилем , и он направлен против скорости , над профилем, соответственно, - наоборот. В результате появляется циркуляционный поток, направленный по часовой стрелке, как это показано на рисунке. Чтобы характеризовать этот поток количественно вводится понятие циркуляции скорости по замкнутому контуру.

Рассмотрим замкнутый контур C, показанный на следующем рисунке. Пусть в произвольной точке M скорость равна . Составим скалярное произведение , где - направленный элемент дуги.

Циркуляцией скорости называют контурный интеграл вида:

(2.11)

Обратим внимание на структуру этого соотношения. Оно построено аналогично выражению для работы, поэтому иногда говорят, что циркуляция - это своеобразная «работа» вектора скорости. Имея в виду, что и , по правилу скалярного произведения получим

(2.12)

Для плоского течения:

(2.13)

Ранее утверждалось, что понятие циркуляции с практической точки зрения является более удобным, чем интенсивность вихря. Действительно, из формулы (2.13) следует, что для определения циркуляции достаточно знать проекции скорости, нахождение которых не связано с существенными трудностями. Однако при этом остается пока открытым вопрос о том, существует ли связь между циркуляцией скорости и интенсивностью вихря.

Теорема Стокса.

В движущейся жидкости рассмотрим вихревое поле и выделим в нем малый замкнутый контур со сторонами dx и dy (см. рисунок). Пусть в начале координат скорости будут и . Запишем выражение для элементарной циркуляции по этому контуру, имея в виду, что поток двумерный: .

Рассмотрим контур OABC. Если вдоль OA скорость , то вдоль CB ее приращение составит , и аналогично вдоль AB - . Это следует из выражения для полного дифференциала скорости, например, .

Используем эти выражения для расчета элементарной циркуляции вдоль контура OABCO. Имеем:

Раскрывая скобки и выполнив сокращения, получаем

Отсюда следует, что циркуляция по бесконечно малому замкнутому контуру равна интенсивности вихря, пронизывающего этот контур. Этот вывод легко обобщить и на случай произвольной кривой конечных размеров. Таким образом, можем записать:

(2.14)

Это и есть формула Стокса, показывающая, что циркуляция по произвольному контуру равна сумме интенсивностей (напряжений) вихрей, пронизывающих поверхность, натянутую на контур.

Дата добавления: 2014-01-05