Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью

(1)

Общее решение такого уравнения имеет вид:
, где -частное решение неоднородного уравнения.

Рассмотрим случай, когда частное решение находится методом неопределенных коэффициентов.

а) Пусть правая часть в (1) имеет вид: , тогда для уравнения (1) частное решение будет иметь вид , где - многочлен той же степени, что и , причем, если не является корнем характеристического уравнения, то , иначе - это кратность корня.

Принимая решение в указанной форме, мы находим неизвестные коэффициенты многочлена по методу неопределенных коэффициентов.

Пример:

б) Пусть правая часть имеет вид:

Если не является корнями характеристического уравнения, то уравнение имеет частное решение вида:

Если являются корнями характеристического уравнения, то:

в) Пусть правая часть имеет вид:

, где - многочлены, то есть не являются корнями характеристического уравнения, то

где - многочлены, степень которых равна наивысшей из степеней многочленов или .

Если является корнем, то частное решение:

Случай а) получается из случая в) при , а случай б) получается из в) при .

Замечание. Если правая часть уравнения (1) есть сумма двух функции, а и - решения уравнений:

То общее решение данного уравнения:

Дата добавления: 2014-01-05