Отображения. Взаимно однозначные соответствия

В математике выделяют различные виды соответствий. Это неслучайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем нас мире, многообразны.

Рассмотрим важный частный случай понятия соответствия – отображения множеств. При соответствии между множествами Х и У образ элемента аÎХ может оказаться пустым, а может содержать и несколько элементов.

Определение. Отображением множества Х в множество У называется такое соответствие между этими множествами, что образ любого элемента аÎХ состоит из одного и только одного элемента множества У.

Таким образом, график отображения множества Х в множество У не может содержать двух различных пар (а, у₁) и (а, у₂) с одной и той же первой компонентой. При этом для любого аÎХ в нем найдется пара вида (а,в), где вÎУ. На графе отображения Х в У из каждой точки множества Х будет выходит одна и только одна стрелка.

Х У

Обозначают отображения f: X®Y, XY. Здесь f – символ самого отображения. Если при отображении f элементу х соответствует элемент у, то пишут: f: х®у или ху или у= f(х).

Пример: Х– множество студентов в аудитории, У – множество столов в той же аудитории, причем каждый студент сидит за одним из столов. Соответствие «Студент х сидит за столом у» задает отображение Х в У. Образом студента х при этом отображении является стол, за которым он сидит.

Определение. Взаимно однозначным соответствием между множествами Х и У называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества У и каждый элемент множества У соответствует только одному элементу множества Х.

Пример 1: Х– множество кружков, У– множество квадратов и соответствие между ними задано при помощи стрелок.

Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из множества Х сопоставляется единственный квадрат из множества У и каждый квадрат из У соответствует только одному кружку из множества Х.

Пример 2: Х – множество действительных чисел, У – множество точек координатной прямой. Соответствие между ними: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой.

Вопрос! Будет ли данное соответствие взаимно однозначным? Ответ обоснуйте.

В математике взаимно однозначное соответствие часто называют взаимно однозначным отображением множества Х на множество У.

Дата добавления: 2014-01-06