Нормально распределенные СВ

Нормальной кривой называется график плотности вероятности СВ, распределенной по нормальному закону. Нормальная кривая с параметрами =1, а =0 называется основной, нормированной или стандартной. Закон обозначается N (0;1)

Плотность вероятности нормально распределенной СВ:

а) Существует при всех действительных значениях аргумента;

б) имеет одно экстремальное значение-максимум при х=а, равный 1/()

При этом нормальная кривая:

· симметрична относительно прямой х=а;

· имеет асимптоту, которой служит ось абсцисс;

· имеет две точки перегиба, расположенные симметрично относительно прямой х=а и находящиеся на расстоянии от нее;

· ординаты точек перегиба одинаковы и равны 1/().

Теорема. В выражениях плотности вероятности и функции распределения СВ, распределенной по нормальному закону:

;

параметры а и являются соответственно ее математическим ожиданием и с.к.о., а - ее дисперсией.

Нормальные кривые с одинаковыми имеют одинаковую форму. Они различаются лишь положением максимальной ординаты.

При разных более узкую форму имеет нормальная кривая с меньшим .

Функция распределения нормальной СВ представляет собой интеграл, не берущийся в элементарных функциях. Поэтому ее выражают через функцию

- функцию Лапласа (интеграл Лапласа), для которой составлены таблицы. Геометрически функция Лапласа представляет собой площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке [- x,x ].

Иногда под функцией Лапласа понимают

, которая равна половине приведенного выше выражения и геометрически охватывает площадь под нормальной кривой на отрезке [0, u ].

В данном курсе будем понимать под функцией Лапласа первое выражение.

Теорема. Функция распределения СВ Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа по формуле:

Теорема. Вероятность того, что нормальная СВ Х примет какое-нибудь значение из интервала (х₁,х₂),находится по формуле:

Дата добавления: 2014-01-06