Равенство множеств

Подмножества

Пусть задано множество А. Множество В, состоящее из элементов множества А, называется подмножеством А.

Например. A ={ a, w, b, c } и В ={ w, a, b }, тогда В А или А В
(В включается в А или А включается в В).

Множество А является собственным подмножеством.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

А ={3, 2, а }. В ={ а, 3, а, 3, 2, а }. Имеем А = В.

Теорема. Множество А равняется множеству В, если А является подмножеством В, а В является подмножеством А.

Доказательство:

1) Пусть х Î А и А В. По определению подмножества, х Î В. Так как х − произвольный элемент А, то все элементы множества А принадлежат множеству В.

2) Пусть х Î В и В А. По определению подмножества, х Î А. Так как х − произвольный элемент В, то все элементы множества В принадлежат множеству А.

3) Так как все элементы множества А принадлежат множеству В, а все элементы множества В принадлежат множеству А, то по определению равенства множеств, А = В.

Что и требовалось доказать.

Все множества рассматриваются как подмножества некоторого универсального множества U.

Дата добавления: 2014-01-06