Декартово произведение множеств. Разбиение множества на классы

Разбиение множества на классы

Пусть задано некоторое множество, например, множество треугольников. В этом множестве выделим свойство (например, быть прямоугольным). Тогда множество треугольников разбивается на два класса: прямоугольные и непрямоугольные.

Разбиение множества на классы (классификация) означает, что данное множество А разбивается на подмножества k ₁, k ₂, …, k _m таких, что

1) Эти подмножества попарно не пересекаются, то есть

k_i k_j = Æ (i, j = 1,…, m, i ≠ j);

2) Объединение всех подмножеств дает множество А

3) Ни одно из подмножеств не пусто: k ≠ Æ.

Пример: Пусть имеется А – множество всех грибов.

Свойства:

1) a₁ – быть съедобным грибом;

2) a₂ – быть трубчатым грибом.

Таким образом, с помощью этих свойств мы получаем 4 подмножества: съедобные и несъедобные, трубчатые и не трубчатые.

Такое разбиение классификацией не является, так как эти подмножества могут пересекаться, и пересечение не пусто.

Пусть В – множество съедобных грибов, а С – множество трубчатых. = B C – съедобные и трубчатые,

=B – съедобные и не трубчатые,

= C – несъедобные и трубчатые,

=∩ – несъедобные и не трубчатые.

Рис.7. Разбиение на классы

Пусть у нас имеется два элемента a ₁ и a ₂. Пара (a ₁, a ₂) называется упорядоченной. 1-ый элемент ее – a ₁, 2-ой – a ₂.

Пары (a ₁, a ₂) и (b ₁, b ₂) считаются равными, если a ₁ = b ₁, и a ₂ = b ₂.

Пара (a ₁, a ₂) = (a ₂, a ₁), если только a ₁= a ₂.

Пусть заданы два множества

А = { a ₁, a ₂,…, a_n } и В = { b ₁, b ₂,…, b_m }.

Декартовым, или прямым, произведением множества А на множество В называется множество упорядоченных пар, 1-ый элемент которых принадлежит множеству А, а 2-ой – множеству В.

Обозначается декартово произведение знаком ´.

Для данных множеств получим

А ´ В ={(a ₁, b ₁),(a ₁, b ₂),…,(a ₁, b_m),…,(a ₂, b ₁),…,(a_n, b_m)}.

Мощность декартового произведения равна n× m.

Обозначение: | A ´ B | = n × m.

Пример 1:

A = {1, 4} и В = {2, 3, 4}.

A ´ B ={(1,2),(1,3),(1,4),(4,2),(4,3),(4,4)}.

Геометрически каждой паре чисел соответствует точка координатной плоскости.

Для примера 1

Рис.8. Декартово произведение А ´ В для конечных А и В

Пример 2:

A = { x Î R, \ x Î [ - 1; 2]};

B = { y Î Z, \ y Î [-3; 3]}.

Рис.9. А ´ В, где А – непрерывное множество

Пример 3:

A = { x Î R, \ x [-1; 2]};

B = { y Î R, \ y Î [-3; +∞)}.

Рис.10. А ´ В непрерывных множеств

Дата добавления: 2014-01-06