Свойства операций

1) Коммутативность.

А B= B A. A B = B A.

2) Ассоциативность.

А (B C) = (A B) C. A (B C) = (A B) C.

3) Дистрибутивность.

А (B C) = (A B) (A C).

A (B C) = (A B) (A C).

4) Законы Де-Моргана.

=∩ =

5) A A = A A A = A

6) A Æ = A A∩ Æ = Æ

7) A U = U A U = A

8) Ø

9)

10) A \ B =

Доказательства.

Аналитическое доказательство равенств множеств заключается в том, что доказывается, что левая часть равенства является подмножеством правой, и наоборот. И на основании теоремы о равенстве множеств следует, что равенства справедливы.

Введем обозначения для второго закона дистрибутивности:

D1 = A (B C)

D2 = (A B) (A C)

1. Пусть х Î D1. Докажем, что х Î D2.

Так как х Î D1, то х принадлежит объединению, то есть х Î А или
х Î В C.

a) Пусть х Î А, тогда, по определению объединения, х Î A B и, по этому же определению, х Î A C. Тогда, по определению пересечения, х Î (A B) (A C). То есть х Î D2.

b) Пусть х Î B C. Тогда, по определению пересечения, х Î B и
х Î C. По определению объединения х Î A B и х Î В С. По определению пересечения, х Î (A B) (A C), то есть х Î D2.

Так как х - произвольный элемент множества D1, то все элементы множества D1 являются элементами множества D2, то есть D1 – подмножество D2.

2. Пусть у Î D2. Докажем, что у Î D1.

Так как у Î D2, то по определению пересечения у Î A B и
у Î A C.

a) Пусть у Î А, тогда, по определению объединения,
у Î A (B C) = D1.

b) Если у не принадлежит А, то у Î В и у Î С (так как у Î A B и у Î A C соответственно). По определению пересечения, у Î B C. По определению объединения, у Î A (B C) = D1.

Так как у – произвольный элемент множества D2, то все элементы множества D2 являются элементами множества D1, то есть D2 – подмножество D1, а так как D1 является подмножеством D2, то
D1 = D2. Что и требовалось доказать.

Рис.6. Второй закон дистрибутивности

Дата добавления: 2014-01-06