Свойства декартового произведения

1) А ´ В ≠ В ´ А.

2) (А ´ В) ´ С ≠ А ´ (В ´ С).

3) А ´ (В С) = (А ´ В) (А ´ С).

4) А ´ (В С) = (А ´ В) (А ´ С).

5) (А В) ´ С = (А ´ С) (В ´ С).

6) (А В) ´ С = (А ´ С) (В ´ С).

7) А ´ (В \ С) = (А ´ В) \ (А ´ С).

8) (А \ B) ´ C = (A ´ C)\ (B ´ C).

Доказательство свойства 3:

Обозначим А ´ (В С) = D1 и (А ´ В) (А ´ С) = D2.

a) Пусть z Î D1, z – элемент декартового произведения, z = (x,y), где х Î А, а у Î (В С), то есть у Î В и у Î С по определению пересечения. Тогда (x, y) Î (А ´ В) и (x, y) Î (А ´ С). По определению пересечения (x,y) Î D2. Мы доказали, что D1 – подмножество D2.

b) Пусть (x, y) Î D2. Это означает, что (x, y) Î (А ´ В) и (x, y) Î (А ´ С) – по определению пересечения. Следовательно, х Î А, а у Î В и у Î С. Так как у Î В и у Î С, то у Î (В С). Следовательно, (x, y) Î D1. Значит, D2 является подмножеством D1.

По теореме о равенстве множеств D1= D2.

Что и требовалось доказать.

Остальные свойства доказываются аналогично предыдущему. ´ "

Дата добавления: 2014-01-06