Гармонический (спектральный) анализ периодических сигналов

Тема № 4

Временные характеристики сигнала

Временное описание сигналов является наиболее наглядной его характеристикой. Выполнить описание сигнала можно по осциллограмме.

S(t)=SmCos(ωt+φ₀)

U(t)=kt; U₁(t)=0; U₂(t)= k *; U₃(t)=k T

S(t)=

Временное описание сигналов необходимо для нахождения спектра сигналов, кроме того временное описание сигналов позволяет найти такие характеристики как продолжительность сигнала, характер изменения, период сигнала, выявить является данный сигнал периодическим или не периодическим.

Разнообразие сигналов достаточно велико, но для оценки их временных характеристик должен быть единый подход. Одна из наиболее удобных характеристик является длительность сигнала которая определяется на основе энергетического критерия.

A= tetha * Э | tetha = (0.9÷0.95)

Э =

Периодическим называют такой сигнал который существует на бесконечной оси времени и повторяется с каким то периодом T.

S(t)=S(t+nT)

Где n=1,2,3…

Периодический сигнал может быть в виде моно гармоники и может быть также сложным сигналом. Любой сложный сигнал можно разложить или представить в виде суммы гармонических сигналов вида Cosx и Sinx. Представление или разложение сигнала в виде суммы гармонических составляющих называют разложением сигнала в виде ряда Фурье.

Сложный сигнал можно разложить в ряд Фурье в том случае когда для такого сигнала выполняется условие Дирихле.

Тригонометрические функции вида Cosx и Sinx называют ортогональными составляющими.

Кроме ортогональных функций вида Sinx и Cosx существуют и другие ортогональные функции например: Лагера, Лежандра, Чебышева, Эрмита и другие. Но эти функции сложнее в использование.

Ряд Фурье имеет следующий вид:

S(t)= Ω₁t + b₁SmΩ₁t + a₂*Cos2Ω₁t + b₂+Sin2Ω₁t + … a_n*Cos2Ω₁t + b_n+Sin2Ω₁t

Ряд Фурье можно представить в свернутом виде:

S(t) = + Ω₁t + Ω₁t

- постоянная ряда Фурье. Физически это означает среднее значение сигнала за период.

a_n – есть четная составляющая ряда Фурье

b_n – есть не четная составляющая ряда Фурье

Если сигнал будет четным то нечетная составляющая ряда Фурье будет равна 0

Если сигнал не четный то вид сигнала будет следующим:

Графически четные и не четные составляющие ряда Фурье можно представить следующим образом:

Суммарный вектор An есть комплексная амплитуда ряда Фурье которая характеризуется модулем и аргументом φn.

Модуль комплексной амплитуды ряда Фурье равна:

Знать только амплитуду a_n не достаточно, необходимо также знать начальную фазу n-ой гармоники. Начальная фаза φ_n =arctg

Коэффициенты ряда Фурье an и bn можно найти по формулам:

an= CosnΩ₁t dt

bn= SinnΩ₁t dt

Если сигнал S(t) является четным то нечетные составляющие bn=0.

Если сигнал будет не четным то четная составляющая ряда Фурье обращается в 0.

Зная временное описание сигнала S(t) можно найти комплексную амплитуду

n = dt

Зная комплексную амплитуду n можно найти сигнал S(t) по формуле:

S(t)=

Для наглядного представления спектра сигнала, спектр сигнала изображают графически. При этом изображают как спектр амплитуд так и спектр фаз.

В обобщенном виде это можно представить следующим образом:

Спектр периодического сигнала дискретный или линейчатым.

Дата добавления: 2014-01-06