Спектральный анализ не периодических сигналов

Пример спектрального анализа периодического сигнала

Предположим что имеем следующий периодический сигнал.

1) Найти временное описание сигнала S(t)=

2) Найдем постоянную составляющую такого сигнала

= = = = t = (= =

Где τ – это половина длительности импульса, а τ₁ вся длительность импульса.

Если длительность импульса равна половине периода τ_1,

= =

3) Найдем четную составляющую ряда Фурье

an= = = =

4) Найдем не четную составляющую ряда Фурье

bn= = = = = (-(-))=0

т.к. Cos функция четная то Cos(-X)=CosX

т.к. функция сигнала является четной, то можно было ожидать что не четная составляющая ряда Фурье bn будут равны 0.

5) Найдем комплексную амплитуду ряда Фурье

n= А_n

A_n= = =a_n

6) Найдем начальную фазу n-ой гармоники.

φ­_n=arctg = arctg

a­₁=

a­_n= (Sin - Sin(

a­_n= (Sin +Sin = Sin = Sin = Sinn2π = Sinn

7) Для нашего случая это отношение могло бы быть другим.

Зная чему равно a­_n и φ_n построим спектр амплитуд и спектр фаз для такого сигнала.

a­₁=

Не периодическим называется такой сигнал который ограничен во времени и существует в пределах от Т₁ до Т₂ и больше негде не повторяется на временной оси.

Для анализа спектра не периодического сигнала повторим заданный не периодический сигнал с каким-то периодом Т₁. Это позволит нам не периодический сигнал превратить в квази периодический (как бы периодический) сигнал.

Для такого квази периодического сигнала применим гармонический анализ.

S₁(t)= (1)

n = dt (2)

В выражение (1) подставим вместо n подставим его значение из формулы.

S₁(t)=

Вместо Т­₁ подставим его значение.

T₁=

S₁(t)=

Полученное выражение справедливо для квази периодического сигнала. Для того чтобы перейти от квази периодического сигнала к не периодическому сигналу, необходимо устремить период T_{1 .}

Устремление T_{1 .} Позволяет перейти от квази периодического сигнала к не периодическому сигналу. При устремлении T_{1 .}; Ω­₁ dΩ; n _­; n Ω­₁ Ω;

Выражение для не периодического сигнала с учетом придельного перехода будет иметь следующий вид:

S(t)=

Внутренний интеграл обозначим через, эта величина называется спектральной плотностью мощности не периодического сигнала.

Подставим выражение для не периодического сигнала значение внутреннего интеграла.

Получим:

S(t)= (4)

= (3)

Полученное выражение (3) есть интеграл Фурье который используется для анализа спектра непериодического сигнала.

Выражение (3) называют еще прямым преобразованием Фурье.

Прямое преобразование Фурье позволяет по известной временной характеристике сигнала S(t) найти спектр не периодического сигнала.

Выражение (4) называют обратным преобразованием Фурье.

Обратное преобразование Фурье позволяет по известной спектральной характеристике S(Ω) найти оригинал не периодического сигналаS(t).

Комплексная спектральная плотность сигнала S(Ω) обладает всеми свойствами комплексных амплитуд периодического сигнала полученного из не периодического путем повторения его с периодом T₁.

_n=

С физической точки зрения спектральная плотность мощности не периодического сигнала означает количество амплитуд приходящихся на единицу полосы частот.

Где это четная составляющая спектральной плотности, не четная составляющая спектральной плотности. Модуль спектральной плотности может быть найден по формуле:

=

Четная составляющая спектральной плотности может быть найдена по формуле:

=

Спектр не периодического сигнала является сплошным. Выделить отдельную гармоническую составляющую не возможно. Для наглядности изображают графически модуль спектральной плотности и фазовую характеристику.

φ­(Ω)=arctg

Значение спектральной плотности по 0-ой частоте может быть найдено по формуле:

S(0)=

Дата добавления: 2014-01-06