Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Теорема существования и единственности решения

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида (1) или

Уравнение называется разрешенным относительно производной. Здесь x - независимая переменная, - неизвестная искомая функция, - ее производная.

Если при решении дифференциального уравнения получается выражение вида , то оно называется общим интегралом уравнения (1) и неявно определяет общее решение дифференциального уравнения (1). Аналогично выражение неявно определяет частное решение уравнения (1).

Начальными условиями для дифференциального уравнения (1) называется пара чисел , которые записываются так: . Решить задачу Коши значит найти частные решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным начальным условиям.

Теорема Коши.

Если в некоторой окрестности точки функция определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то существует такая окрестность точки , в которой задача Коши имеет решение и притом единственное.

Геометрический смысл решения дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, что:

1) общее решение определяет семейство интегральных кривых сплошь заполняющих область существования и единственности решения; 2) частное решение определяет интегральную кривую, выделенную из семейства при конкретном значении ; 3) решение задачи Коши с начальными условиями - частное решение, проходящее через точку .

Дата добавления: 2014-01-07