Лекция 15. Числовые ряды

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами их частные решения в зависимости от вида правой части. Метод вариации произвольных постоянных.

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентом называется уравнение вида (6), где .

Рассмотрим два способа решения уравнения (6).

1. Метод вариации произвольной постоянной заключается в том, что сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения , где функции и образуют ФСР однородного уравнения (5). Общее решение уравнения (6) ищут в виде , где и - неизвестные функции. Тогда (постоянные и заменяют на функции и ). Подберем и так, чтобы , тогда , . Подставим выражения для в (6), получим . Таким образом функции и должны удовлетворять системе (*). Решим эту систему относительно и . Проинтегрировав полученные решения системы, найдем и и составим общее решение в виде (2).

Пример. Решить уравнение

1) Составим и решим соответствующее однородное уравнение . Будем искать решение исходного уравнения в виде .

2) Составим и решим систему (*).

Тогда

.

То есть - общее решение.

2. Итак, (5) - однородное уравнение, соответствующее уравнению (6). Пусть y - общее решение уравнения (6), - общее решение однородного уравнения (5), частное решение неоднородного уравнения (6), тогда . При этом можно найти используя вопрос 3 лекции, а подбирается в зависимости от вида .

Пусть правая часть имеет вид (или фрагмент его), где и - многочлены соответственно степеней n и m с известными коэффициентами, и - заданные числа. При отыскании частного решения удобно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Возможные случаи:

- если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде , где , и - многочлены степени к, составлены с неопределенными коэффициентами без пропуска степеней. Коэффициенты определяются путем подстановки неизвестной функции y и ее производных в уравнение (6).

- если - корень характеристического уравнения кратности , то частное решение имеет вид .

Дата добавления: 2014-01-07