Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Для рассмотрения однородных дифференциальных уравнений первого порядка введем понятие однородных функций.

Определение. Функция называется однородной n-го измерения по своим переменным х и у, если она удовлетворяет равенству .

Замечания:

1) Однородная функция нулевого измерения фактически зависит от отношения , так как, если в соотношении считать , то .

2) Отношение двух однородных функций одного и того же измерения

является однородной функцией нулевого измерения.

Пусть , где и однородные функции n -го измерения, то есть , тогда .

Определение. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида (3), правая часть которого является однородной функцией нулевого измерения, то есть .

Для решения однородного уравнения используется подстановка , где - неизвестная функция и =, или. Подставим выражения у и в уравнение , получим (*) - уравнение с разделяющимися переменными. Так как , то и =- уравнение с разделенными переменными. Интегрируя последнее уравнение получим - общий интеграл уравнения (*).

После нахождения необходимо вернуться к функции и найти общий интеграл уравнения (3).

Замечания.

1. Уравнение является однородным, если правая часть:

1) зависит фактически от отношения ;

2) является отношением двух однородных функций одного измерения.

2. Уравнение вида является однородным, если P(x) и Q(y) - однородные функции одного измерения.

Пример. Решить уравнение .

Решение. . Так как , то . Так как , то ,

= , , .

Так как , то - общее решение уравнения.

Дата добавления: 2014-01-07