Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений (ФСР). Теоремы об общем решении

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (2).

Свойства решений уравнения (2).

1.Если и - решения уравнения (2), то тоже решение уравнения;

2.Если решение уравнения (2), то тоже решение уравнения (2) при любом .

Определение. Решения и уравнения (2) называются линейно-

зависимыми, если для . Решения и уравнения (2)

называются линейно-независимыми, если для .

Определение. Фундаментальной системой решения однородного уравнения (2) называются любые два линейно независимых решения уравнения (2).

Пример. Для уравнения функции , являются частными решениями, причем решения и , и , и , и , и , и , и являются линейно-независимыми и образуют ФСР; пары решений и , и - линейно-зависимые.

Теорема. (о структуре общего решения линейного однородного уравнения второго порядка).

Пусть и образуют ФСР уравнения (2), тогда общее решение уравнения (2) имеет вид , где и -произвольные постоянные.

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (3), где .

Этому уравнению соответствует однородное уравнение (2).

Теорема. (о структуре общего решения неоднородного уравнения)

Общее решение неоднородного уравнения (3) есть сумма общего решения соответствующего ему однородного уравнения (2) и частного решения неоднородного уравнения (3), то есть , где - общее решение (3), - общее решение (2), - частное решение (3).

Дата добавления: 2014-01-07