Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение линейного однородного уравнения довольно сложная задача,

которая намного упрощается, если коэффициенты уравнения постоянны.

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида (4), где p и q – действительные числа.

Будем искать решение уравнения в виде функции . Для этого подставим выражения для , , в уравнение (4). Так как , , то Поскольку , то (5).

Определение. Алгебраическое уравнение (5) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения (4).

Пример.

Для уравнения , , характеристическими являются соответственно уравнения , , .

Вид общего решения дифференциального уравнения (4) зависит от корней соответствующего ему характеристического уравнения. Здесь возможны три случая:

1. , тогда - решения уравнения (4), причем линейно независимы и образуют ФСР. Следовательно по теореме о структуре общего решения - общее решение уравнения (4).

Пример. Для уравнения составим характеристическое

Уравнение . Его корни . Общее решение

уравнения имеет вид .

2. - единственное решение уравнения. Но для построения общего решения необходимо еще одно линейно независимое относительно решение, им является . Это можно проверить подстановкой в уравнение (4). Функции и являются линейно независимыми решениями и образуют ФСР, так как общее решение уравнения (4) имеет вид .

Пример. Для уравнения составим характеристическое уравнение . Его корни и общее решение исходного уравнения имеет вид .

3. Если , то характеристическое уравнение действительных корней не имеет, но y него есть два комлексно-сопряженных корня, которые вычисляются по формулам .Считая, что , получим , где - действительная часть корня, - мнимая часть корня. Корни , - комплексно-сопряженные. Общее решение уравнения (4) имеет вид .

Пример. Для уравнения характеристическое уравнение имеет и корни , при этом и общее решение имеет вид .

Дата добавления: 2014-01-07