План скоростей

Планом скоростей называется диаграмма, на которой от некоторого центра отложены векторы скоростей точек тела.

Пусть и – скорости соответствующих точек тела. Отложим векторы скоростей, соответствующие в некотором масштабе отрезкам определенной длины, от произвольно выбранного центра О, тогда векторы.

Допустим, что точка А – полюс, тогда, где,. Из диаграммы видно, что или, следовательно,, тогда. Кроме того, так как, то.

Отрезки, соединяющие концы векторов скоростей на плане скоростей, перпендикулярны отрезкам, соединяющим соответствующие точки тела, и по модулю пропорциональны этим отрезкам.

План скоростей позволяет получить скорость любой точки тела. План скоростей механизма строится как совокупность планов скоростей отдельных его звеньев (тел), причем все векторы скоростей откладываются от общего центра О, называемого полюсом плана скоростей.

Пример. Определить скорость ползуна В для показанного на рисунке положения механизма, если угловая скорость кривошипа ОА равна. Решение выполнить двумя способами:

1) с использованием теоремы о проекциях скоростей двух точек тела;

2) построением мгновенного центра скоростей (МЦС) шатуна АВ.

Решение:

1.,.

Т.к. скорость направлена вдоль оси ползуна, то, по теореме о проекциях скоростей, имеем:

;;;

2. Найдем положение МЦС (точка Р, рис.), тогда

,.

– прямоугольный, так как;,.

Лекция 7
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (определение ускорений)

Пусть тело совершает плоское движение в координатах xOy. Требуется определить ускорение точки М. Обозначим полюс точкой А и проведем через него оси которые движутся вместе с полюсом А, оставаясь параллельными осям x и y. Обозначим положение точек А и М радиус-векторами:

, где,

тогда или.

Так как – ускорение во вращательном движении точки М вокруг точки А, то,

где,.

Таким образом,.

Ускорение любой точки плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.

При этом вектор направлен перпендикулярно МА в сторону вращения, если движение ускоренное, и против вращения, если движение замедленное. Вектор всегда направлен от точки М к точке А.

В общем случае, если движение полюса А является криволинейным, получим.

Пример. Колесо катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному прямолинейному пути. Найти ускорение концов двух взаимно перпендикулярных диаметров колеса, из которых один параллелен рельсу, если в рассматриваемый момент времени скорость центра колеса, ускорение центра колеса, радиус колеса.

Решение.

Точка – мгновенный центр скоростей, следовательно, угловая скорость колеса равна:

.

Угловое ускорение колеса равно:

.

Примем за полюс точку О, тогда,

где,.

Решим задачу для точки. Для этого покажем векторы ускорения.

Решим задачу для точки.

Решим задачу для точки.

Решим задачу для точки.

.

Пример. В механизме эллипсографа в данный момент времени ползун движется со скоростью и ускорением. Направления векторов указаны на рисунке. Длина стержня см. Определить скорость и ускорение ползуна В и точки С, лежащей в центре стержня АВ.

Решение:

1. Определим скорости точек В и C.

Скорость точки B направлена вниз вдоль направляющих. Определяем точку P – мгновенный центр скоростей:

,

.

Так как, то.

(как часть диагонали прямоугольника), поэтому

.

2. Определим ускорения точек В и C.

По теореме об ускорениях точек твердого тела при его плоском движении

, (1)

где,.

.

Величины и находим, проецируя равенство (1) на оси x и y:

x:,

y:.

Откуда,

.

Т.к.,

то и направлено против часовой стрелки.

Для точки С имеем:

, (2)

,

.

Проецируя выражение (2) на оси x и y, получим:

x:,

y:;

.

Лекция 8
ДИНАМИКА ТОЧКИ

Введение в динамику. Законы классической механики (законы Галилея–Ньютона). Инерциальная система отсчета. Задачи динамики. Дифференциальные уравнения движения точки в декартовых неподвижных координатах и проекциях на естественные оси. Решение основной задачи динамики

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил. Понятие сил вводилось в статике, где тела находились под действием постоянных сил. При решении задач динамики силы могут изменяться как по модулю, так и по направлению. Например, сила упругости пружины зависит от координаты, сила сопротивления воздуха движущемуся автомобилю зависит от скорости и т.д. Можно представить материальные тела состоящими из материальных точек, т.е. малых частиц, размером которых можно пренебречь. Таким образом, тело – это совокупность материальных точек.

Мы займемся сначала изучением законов движения отдельной материальной точки, затем полученные результаты обобщим на множество точек и получим законы движения механической системы.

Раздел динамики условно состоит из двух частей: динамики точки и динамики механической системы. Вначале рассмотрим законы классической механики.

Законы классической механики

В основе динамики лежат законы, установленные опытным путем в результате наблюдения движения тел. Впервые эти законы были изложены И. Ньютоном в 1687 г. в сочинении "Математические начала натуральной философии".

Закон I. Изолированная материальная точка сохраняет без изменения величину и направление своей скорости.

Т.е. изолированная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно; можно сказать также, что ее ускорение равно нулю.

Таким образом, установлено, что точка М не может сама изменить свою скорость, для этого ей необходимо внешнее воздействие. Первый закон динамики выражает основное свойство материального тела – неспособность сообщить самому себе ускорение. Это свойство называется инертностью материи. Принцип инертности установил Г. Галилей. Прямолинейное равномерное движение называется движением по инерции.

Существенным является вопрос о том, по отношению к какой системе отсчета справедлив закон инерции. Т.к. закон имеет эмпирическое происхождение, то должны существовать и системы отсчета, в которых он выполняется. Такие системы называют инерциальными системами отсчета. Для Солнечной системы инерциальной, с высокой степенью точности, можно считать систему с началом координат в центре Солнца и осями, направленными на неподвижные звезды. При решении большинства технических задач с достаточной для практики точностью инерциальной можно считать систему координат, жестко связанную с Землей.

Закон II. Произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы:

.

Это равенство называют основным уравнением динамики.

Если на точку одновременно действуют несколько сил, то они будут эквивалентны одной силе (равнодействующей):

или.

Закон III. Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Этот закон широко используют в разделе «Статика».

Дата добавления: 2014-01-07