Алгоритм решения основной задачи динамики

Дифференциальные уравнения движения точки

Задачи динамики

Для свободной материальной точки рассматривают две задачи динамики.

Первая задача динамики: зная закон движения точки, определить действующую на нее силу.

Вторая (основная) задача динамики: зная действующую на точку силу, определить закон движения.

Для несвободной точки М, закон движения которой определен поверхностью, направляющими и т.п., обычно, зная активные силы, определяют реакции связей (первая задача). Определение закона движения точки является основной задачей.

Из кинематики известно, что в прямоугольных декартовых координатах движение точки задается уравнениями:

x = f ₁ (t), y = f ₂ (t), z = f ₃ (t).

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил F ₁, F ₂ ... F_n. Проецируем равенство на оси x, y, z. Учитывая, что,,, получим,,.

Это и есть дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Силы в правых частях уравнений в общем случае могут зависеть от координат x, y, z, от скоростей или от времени t.

Дифференциальные уравнения в проекциях
на оси естественного трехгранника

Для получения уравнений движения материальной точки на плоскости спроецируем основное уравнение динамики на оси естественного трехгранника t, n, b. Зная, что,, получим,,.

Пример. Движение материальной точки массой m с некоторого момента времени происходит по окружности радиусом r согласно уравнению S = b + 2 r · ln · t (b = const). Определить модуль равнодействующей силы, приложенной к точке, как функцию времени t.

Решение:

;.

Следовательно,.

Пример. Самолет в период взлета движется поступательно и прямолинейно с постоянным ускорением а, образующим с горизонтом угол b. Определить модуль этого ускорения, если известно, что нить ОМ математического маятника, находящегося на самолете, отклонена от вертикали на угол a. Каково натяжение нити, если масса маятника равна m?

Решение:

.

Проецируя на оси x и y, получим:

x: – mа sin b = P – T cos a, (1)

y: mа cos b = T sin a. (2)

Умножив первое уравнение на cos b, а второе – на sin b, сложив их, получим:

0 = P cos b – T cos a sin b + T sin a cos b,

откуда.

После подстановки полученного значения силы Т в уравнение (2) получим:

.

1. Составить дифференциальные уравнения движения. Для этого необходимо:

а) выбрать координатные оси, поместив их начало в начальном положении точки (если движение прямолинейное, то одну из координатных осей следует проводить вдоль линии движения точки);

б) изобразить движущуюся точку в произвольный момент времени t и показать на рисунке все действующие на нее силы, в том числе и реакции связей (если они есть);

в) найти сумму проекций всех сил на выбранные оси и подставить в уравнения движения.

2. Проинтегрировать полученные уравнения.

3. Установить начальные условия движения точки М и по ним определить константы интегрирования.

4. Из полученных уравнений определить искомые величины.

Пример. Груз массой m сброшен без начальной скорости с самолета, движущегося горизонтально со скоростью V ₀. Определить уравнение движения груза, если при его движении действует сила сопротивления, где k – положительный коэффициент.

Решение:

Разделяем переменные, вводя следующую замену:

.

Интегрируя, получим:

Начальные условия:

при

Тогда.

Интегрируем еще раз:

Начальные условия: t = 0; x = 0; y = 0, тогда

Таким образом, находим искомые уравнения:

Лекция 9
ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Механическая система. Масса системы. Центр масс и его координаты. Теорема о движении центра масс. Свойства внутренних и внешних сил. Дифференциальные уравнения движения центра масс. Осевые моменты инерции тела

Механической системой называют систему материальных точек. Представим себе механическую систему и обозначим координаты i -й точки через x_i, y_i, z_i.

Геометрическая точка С, определяемая координатами:
(1)

где M = å m_i – масса всей системы называется центром инерции или центром масс системы. Умножив числитель и знаменатель в этих формулах на ускорение свободного падения g, получим выражения:

где Р – вес системы.

Очевидно, что центр инерции (ЦИ) совпадает с центром тяжести (ЦТ) системы. Понятие ЦИ гораздо шире, чем понятие ЦТ, т.к. ЦТ существует только, когда система находится в поле сил гравитации, а существование ЦИ не зависит от действия на систему каких-либо сил.

Положение центра инерции может быть также определено значением радиуса-вектора, проведенного в центр инерции из начала координатных осей. Обозначим радиус-векторы точек системы через, тогда

. (2)

Это векторное равенство равносильно предыдущим трем, т.к., проецируя обе части равенства (2) на координатные оси, получим равенство (1).

Дата добавления: 2014-01-07