Равномерное и равнопеременное вращение

Если угловая скорость во все время движения тела остается постоянной, то вращение тела называется равномерным (= const).

Закон движения в дифференциальной форме имеет вид:

В начальный момент времени угол. Интегрируя уравнение в пределах и, получим

.

При, или.

В технике угловая скорость соответствует характеристике, называемой частотой вращения, обозначаемой n и измеряемой в об / мин (мин^{– 1}).

Т.к. 1 оборот = 2p радиан, 1 мин = 60 сек, перевод из об / мин в осуществляется по формуле:

.

Если угловое ускорение все время остается постоянным, то такое вращение называется равнопеременным:

.

Интегрируя в пределах и, получим.

Представив, получим

или

.

Если w и e имеют одинаковые знаки, то движение является равноускоренным, в противном случае – равнозамедленным.

Определение скоростей и ускорений точек вращающегося тела.
Скорости точек тела

Возьмем точку М тела на расстоянии h от оси вращения. Точка M будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Если за время dt происходит элементарный поворот d j, то; скорость называется линейной или окружной. Учитывая, что, получим.

Числовое значение скорости точки вращающегося тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Скорость направлена по касательной к описываемой окружности. Так как w для всех точек тела одинаковы, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям до оси вращения.

Для определения ускорений точек тела воспользуемся формулами:

;.

В нашем случае,

,.

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса определяется углом:

.

Пример. Вал радиуса = 10 см приводится во вращение гирей, подвешенной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением, где х – расстояние гири от места схода нити с поверхности вала, выражаемое в см, t – время, выражаемое в секундах. Определить угловую скорость w и угловое ускорение e вала, а также полное ускорение точки В на поверхности вала в момент времени t.

Решение:

, где j – угол поворота вала.

,

,

см / с ²,

см / с ².

см / с ².

Лекция 6
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (определение скоростей)

Разложение плоского движения твердого тела на
поступательное и вращательное. Уравнение плоского движения.
Определение скоростей точек твердого тела. Теорема о скоростях точек
твердого тела, ее следствие. Определение скоростей точек твердого тела
с помощью мгновенного центра скоростей. План скоростей

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости.

Разложение плоского движения твердого тела
на поступательное и вращательное

Плоское движение совершают многие части механизмов и машин (кривошипно-ползунный механизм, колесо, катящееся по рельсу, и т.п.). Для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости xOz сечение S этого тела.

Положение фигуры S в плоскости xOz определяется положением какого-нибудь отрезка AB, проведенного на этой фигуре. В свою очередь, положение отрезка AB можно определить, зная координаты. Точку, выбранную для определения положения фигуры, будем называть полюсом.

Закон плоского движения фигуры имеет вид:

,,.

Это уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости. Первые два уравнения определяют поступательное движение полюса (при), а третье уравнение – вращательное движение фигуры вокруг полюса,.

Следовательно, движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Кинематическими характеристиками такого движения будут, w и e.

В качестве полюса можно выбрать любую точку фигуры, например, C и определить положение фигуры отрезком СД. Характеристика поступательного движения изменится, так как в общем случае и (иначе движение было бы поступательным). Характеристики вращательной части движения (w и e) остаются неизменными, так как j ₁ = j – a, где a = const. Поэтому.

За полюс принимается точка, скорость которой либо задана, либо ее легко определить из условия задачи.

Вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

Дата добавления: 2014-01-07