Координаты центров тяжести однородных тел

Сила тяжести и центр тяжести однородных тел

В физике имеется два понятия:

1) центр масс (центр инерции) – точка, характеризующая распределение масс в механической системе;

2) центр тяжести – точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на все частицы этого тела.

Положение центра тяжести твёрдого тела совпадает с положением его центра масс.

Сила, с которой каждое тело притягивается к Земле, называется силой тяжести. Она распределена по всему объёму тела, т.е. приложена к каждой частице тела и направлена вертикально вниз к центру Земли. Элементарные силы тяжести этих частиц, … практически параллельны и направлены вниз. То есть имеется система параллельных сил, выходящих из множества материальных точек, координаты которых, …. Равнодействующая этих параллельных сил, называется силой тяжести тела. Она приложена в точке С, являющейся центром тяжести тела, Итак, центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела.

Очевидно, что.

Используя теорему Вариньона, найдем момент равнодействующей относительно оси Оу как сумму моментов составляющих сил относительно той же оси:

.

Отсюда найдем координату центра тяжести x_C:

.

Затем мысленно повернём все силы против часовой стрелки на 90º и, используя уравнение моментов относительно оси Ох, получим

.

Однородная материальная линия. Тело, у которого два измерения (высота и ширина) пренебрежимо малы по сравнению с третьим измерением (длиной), называют материальной линией (например, стержень). У таких тел отношение силы тяжести G к длине l – постоянная величина для любого произвольного участка линии:

.

С учётом этого выражения формулы для определения координат центра тяжести можно выразить так:

,,.

Однородная материальная поверхность. Материальной поверхностью называют тело, у которого одно измерение (толщина) пренебрежимо мало по сравнению с двумя другими (длиной и шириной). У однородной материальной поверхности отношение силы тяжести к площади поверхности есть постоянная величина для любой произвольной части поверхности:

.

Формулы для определения координат центра тяжести:

,,,

где A – полная площадь поверхности.

Однородный материальный объем. Материальный объем имеет соизмеримыми все три измерения. Для любой части однородного тела

.

Формулы для определения координат центра тяжести:

,,,

где V — полный объем тела.

Статический момент площади. Произведение площади фигуры A на расстояние от ее центра тяжести до какой-либо оси называют статическим моментом этой площади относительно данной оси. Так, – статический момент площади A относительно оси х, а – статический момент этой же площади относительно оси у. Чтобы определить статический момент площади сложной фигуры относительно некоторой оси, необходимо сложить статические моменты отдельных частей фигуры относительно этой же оси, т.е.

,

.

Ось, проходящую через центр тяжести, называют центральной. Статический момент плоской фигуры относительно любой центральной оси равен нулю.

При решении задач на определение положения центра тела необходимо иметь в виду, что если однородное тело имеет плоскость симметрии, ось симметрии или центр симметрии, то его центр тяжести обязательно лежит в этой плоскости, на этой оси, в этом центре.

На практике часто необходимо определить положение центра тяжести тел, имеющих сложную форму. Для этого существуют два метода определения: метод группировок (разбивки) и метод отрицательных масс.

Первый метод заключается в том, что тело разбивается на наименьшее число простейших частей, силы тяжести которых и положение их центров тяжести известны, после чего применяют выведенные ранее формулы.

При использовании второго метода тела, имеющие свободные полости, считают сплошными, а массу свободных полостей считают отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести при этом не меняется.

Лекция 4
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Способы задания движения точки. Определение скорости и ускорения
точки при различных способах задания движения. Понятие о естественном трехграннике. Частные случаи движения точки

Кинематикой называется раздел механики, изучающий механическое движение материальных тел независимо от причин, обусловливающих это движение, то есть независимо от действующих на него сил. Движение тел в кинематике изучается по отношению к некоторой системе отсчета (системе координат). Для кинематики неважно, движется эта система или принимается неподвижной.

В качестве времени принимается одно «абсолютное время», одинаковое во всех системах отсчета и не зависящее ни от свойств пространства, ни от характера движения систем отсчета. Начало отсчета времени в задачах ведется от какого-либо условно выбранного события.

Рассматривая движение тел, можно заметить, что различные точки тел движутся по-разному (например, точки колеса при качении колеса по рельсу), поэтому прежде, чем перейти к изучению движения тел, рассмотрим движение отдельной точки.

Аналитические способы задания движения точки в пространстве

Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве, называется траекторией. Она может быть прямолинейной или криволинейной. Движение точки считается заданным, если для любого момента времени можно указать все кинематические параметры движения: положение по отношению к системе отсчета, траекторию, скорость, ускорение.

Векторно-координатный способ задания движения точки

Пусть точка m совершает движение по отношению к прямоугольной системе координат xyz. Для определения положения точки в этой системе необходимо знать три ее координаты. Если эти координаты известны для любого момента времени, то движение точки считается заданным, то есть координаты заданы в виде известных функций времени:

. (1)

Система уравнений (1) представляет собой уравнения движения точки в декартовой системе координат.

Функции времени однозначны (точка в одно и то же время не может находиться в других точках пространства), непрерывны (бесконечно малому приращению времени t соответствует бесконечно малое приращение координат) и должны допускать производные. Положение точки m в пространстве может быть определено радиусом-вектором, определяющим ее положение относительно некоторой точки пространства:. Приняв за начало радиуса-вектора начало координат системы xyz, всегда можно выразить через его проекции на оси координат:

,

где – единичные орты координатных осей;

x, y, z – координаты точки m, равные проекциям вектора на соответствующие оси.

Величина радиуса вектора равна, а направление его определяют направляющие косинусы:

;;.

Очевидно, если задана система уравнений (1), то можно определить, и наоборот. Уравнения (1) могут рассматриваться как параметрические с параметром t. При переходе от параметрических уравнений к уравнениям, связывающим координаты (путем исключения параметра t), получают уравнение траектории точки. Например, из первого уравнения выразим и подставим в остальные:

Эти уравнения дают траекторию точки в виде линии пересечения двух поверхностей.

Естественный способ задания движения точки

При естественном способе задания движения задана траектория движения точки m в системе отсчета xyz. Движение точки будет считаться заданным, если мы сможем в каждый момент времени указать ее положение на траектории.

Возьмем на траектории точку и назовем ее началом отсчета. Измерим длину дуги (со знаком + или –). Длину дуги S называют дуговой координатой точки m. Заданием дуговой координаты для любого момента времени однозначно определяется положение точки на ее траектории. – уравнение движения точки при естественном способе задания движения или закон движения точки.

Примечание: не следует путать пройденный путь и дуговую координату, так как в общем случае это не одно и то же. Путь всегда положителен, а координата нет. При движении по замкнутой траектории путь по модулю не равен координате.

Определение скорости точки
при различных способах задания движения

Под скоростью точки подразумевается быстрота изменения радиуса-вектора или дуговой координаты точки, определяющей ее положение.

Векторно-координатный способ задания движения

Пусть закон движения задан радиус-вектором или равносильной ему системой трех скалярных координат:

.

Допустим, в некоторый момент времени t положение точки m определяет, а в следующий момент соответственно, тогда за время радиус-вектор получит приращение '.

Вектор ' называется вектором перемещения точки за. Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени называется вектором средней скорости точки за промежуток времени:

Из уравнения следует, что – вектор, направленный по хорде в сторону движения. Очевидно, чем меньше, тем точнее будет выражать скорость точки в момент времени. Поэтому переходим в равенстве к пределу при Δ t → 0.

– векторная производная.

Скорость точки равна векторной производной от радиус-вектора точки по времени и направлена по касательной к ее траектории в сторону движения:

или

,

где – проекции вектора скорости на координатные оси.

При этом

Складывая составляющие скорости, пролучим.

Таким образом, если движение точки задано системой уравнений (1), можно найти величину и направление скорости.

Естественный способ задания движения

Пусть движение точки m задано уравнением. Требуется найти скорость точки. Пусть точка m определяется еще и радиус-вектором относительно точки O, тогда

.

Т.к. при,, то можно записать

.

Рассмотрим каждый предел в отдельности.

.

Предел отношения направляющей хорды к стягивающей ею дуге по величине равен единице и направлен по касательной к траектории: (r = 1), тогда, а алгебраическая величина скорости.

Единичный вектор направлен всегда в сторону возрастания дуговой координаты, поэтому при движении точки в сторону возрастания, а при движении в обратную сторону –.

Скорость точки равна первой производной от дуговой координаты по времени и направлена по касательной к траектории точки в сторону ее движения.

Определение ускорения точки
при различных способах задания движения

Мера быстроты изменения скорости называется ускорением.

Векторно-координатный способ задания движения

Пусть движение точки m задано уравнением или системой уравнений

Если в момент времени t точка m имеет скорость, то в следующий момент ее скорость –.

Тогда.

Перенесем вектор из точки m' в точку m и построим параллелограмм. Тогда будет его стороной. Отношение приращения к промежутку времени называется средним ускорением точки m за время:

.

Очевидно, что вектор направлен по вектору. Ускорением точки в данный момент времени t называется предел, к которому стремится вектор среднего ускорения при:

.

Ускорение точки равно производной от вектора ее скорости по времени. Вспомнив, что, получим.

Чтобы найти величину и направление вектора ускорения аналитически, представим радиус-вектор через его проекции:

.

Тогда или.

Сравнивая эти равенства, получим:

Естественный способ задания движения точки.
Понятие о естественном трехграннике

Построим к кривой АВ в точке M касательную, единичный вектор которой обозначим через. Перпендикуляр к касательной называется нормалью. Очевидно, их может быть бесконечно большое число. Все они будут лежать в плоскости, проходящей через точку M, и будут перпендикулярны касательной. Это нормальная плоскость к кривой в данной точке. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости (плоскости кривой), называется главной нормалью, ее единичный вектор направлен в сторону вогнутости кривой АВ. Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью, ее единичный вектор обозначим как. Плоскость tМb называется спрямляющей плоскостью. Три взаимно перпендикулярные оси, имеющие начало в точке M и направленные по векторам,, называются естественными или натуральными осями координат (оси естественного трехгранника). Такая система будет подвижной, так как при движении точки M начало координат и направление осей изменяется.

Пусть точка M движется по некоторой траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости. Найдем проекции ускорения на нормаль и касательную к траектории. Обозначим: – проекция приращения вектора скорости на касательную, а – проекция на нормаль. Пусть точка движется из положения M в положение M' и в этих точках имеет скорости и, тогда.

Тогда – касательное ускорение,

– нормальное ускорение.

Перенесем вектор в точку M, при этом.

При также стремится к нулю, а фигура АDBC стремится к прямоугольнику, в котором диагональ АВ стремится к АС. Так как,, то. Но АС – проекция на касательную, то есть, тогда, следовательно,.

Далее, – это проекция на нормаль, то есть можно рассматривать как элементарную дугу радиуса MA, тогда и, следовательно,.

Угол между касательной и кривой в двух ее точках называется углом смежности, – элементарный угол смежности, тогда, где – радиус кривизны траектории, тогда

.

Тангенциальное (касательное) ускорение (проекция ускорения точки на касательную) равна первой производной от числового значения скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) по времени. Нормальное (центростремительное) ускорение (проекция ускорения на главную нормаль) равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой.

Пусть точка M движется по кривой. Изобразим векторы. Вектор нормального ускорения всегда направлен в сторону вогнутости кривой. Вектор направлен по касательной к траектории как в сторону скорости (ускоренное движение), так и противоположно ей (замедленное движение).

Полное ускорение точки:

Дата добавления: 2014-01-07